理三に合格できる東大生は何人か？（大学の合格最下位学力の統計分析⑦） 【全面改定版】
以前に、共通テストリサーチを使って、主要大学の学部・学科別に最下位合格の全体順位を推定しました。共通テストリサーチの累積人数＝定員となる得点を最下位合格として計算しています。この場合、東大の中では文三に最下位合格のラインがあり、12,455位でした。他は表を見てもらえればと思いますが、理三以外は悪くない感じです。
ただ、理三の最下位合格は全体で1,358位という推定結果でした。これは理三に入学できる受験生が1,000人以上いることになり、多すぎる印象です。
駿台全国模試・合格目標ライン偏差値の偏差値と、共通テストリサーチから分析した共通テスト偏差値（合格者平均・合格最下位）を並べてみると、理三以外は差がほぼ同じレンジです。共通テスト偏差値の合格者平均は駿台合格目標ライン＋2程度、合格最下位は駿台合格目標ラインとほぼ同じ（平均で+0.1）です。一方、理三を見ると、共通テストリサーチからの分析結果は、それぞれ▲5.7、▲7.3と他の科類と全く違う数字となっています。
※共通テスト偏差値と駿台合格目標ラインは母集団もテストも全く違うため絶対値を比較することに意味はありません。あくまで差の傾向を見ています。
このことからわかるように、理三だけは共通テストで学力を妥当に推定できるレンジを超えている可能性あります。そのため、今回はいくつかの推定方法を複合して、理三のポジションを東大の他の科類と比較することで、理三の最下位学力を評価してみます。
0. まとめ
共通テストモデル、模試判定モデル、東大入試得点分布モデルの3つのモデルを組み合わせて推定すると、理三に合格できる東大生は1学年あたり408人（定員比14％）となる。理三を除く5科類では311人（定員比11%）で、理一と文一に上位層の厚みを確認できる。
文一 37人（9％）
文二 25人（7％）
文三 20人（4％）
理一 189人（17％）
理二 41人（8％）
理三 97人（100％）
私が駿台模試の判定基準を勘違いしていたため、模試判定モデルの推定をやり直しており、初稿から大幅改定しています。理三の合格レベルの定員比は改定前より+2%となっています。これは推定モデルに青天井要素を加味した影響もありますが、それよりも理三の合格目標ラインが79（前回・2023年7月調査）から78（今回・2024年10月調査）に下がっている影響が大きいと考えられます。＜2024.11.4＞
1. 模試判定から合格数推定（模試判定モデル）
駿台模試の判定偏差値から受験者と合格者の分布を推定するモデルを、東大合格者に当てはめてみます。モデルの詳細は別の記事を参照してください。なお、駿台模試のA判定偏差値は合格目標ラインを2024年10月に調査した数値を用います。また、A〜D判定の比率は東大モデル（1.0：0.8：1.9：1.9）を適用し、A判定は偏差値3幅でなく12幅の青天井型にします。
上記の設定で模試判定モデルを適用すると、東大の科類ごとの合格者の駿台全国模試の偏差値の分布は、この表のように推定されます。右下にはこのモデルから算定される合格者平均偏差値の理論値と駿台が公表している合格者平均偏差値（2021年度入試）を並べています。文一と理三は少し乖離が大きいですが、それ以外はほぼ同じ数字なので、モデルは一定程度の精度があることが確認できます。
ただし、上記の分布は文系と理系の母集団学力に起因する文系偏差値と理系偏差値の違いを加味していません。そこで過去の分析で算定した「理系偏差値＝文系偏差値−2」を用いて補正を行います。文系の偏差値分布をマイナス2の補正（下に2段シフト）を行って理系基準で比較したのが、こちらの表になります。
グラフにすると、右に裾野の長い分布となっており、合格者平均偏差値（63.7）より左に分布のピーク（偏差値61）があるようです。
このように東大合格者の偏差値分布が推定できましたので、こうした合格者が理三を受験したらどうなるかのシミュレーションを行います。その結果が、次の表です。
模試合格モデルを用いた推定では、理三以外の5科類で309名（定員比11％）が、理三合格レベルにあるという結果となりました。ボリュームゾーンは理三C判定の偏差値70前半の層ですが、理一に一定数存在すると推定されるその上の層（偏差値75以上で理三B〜A判定）が手堅く積み上げている印象です。
2. 東大入試受験者の正規分布推定
最後に3つ目の推定モデルです。これは実際の東大入試のデータを用いたモデルです。
東大は入試の合格者最低点と合格者平均点を公表しています。その点数と定員・倍率・受験者数について、2020〜2024年度入試の平均値を集計すると、このようになります。
東大の得点開示を集計しているサイトを見ると、合計点の分布は確認できませんでしたが、科目ごとの分布は確認できました。理系数学を除くと、概ね正規分布になっているようです。そのため、総合点は正規分布になっているという前提で推定を進めます。
受験者が正規分布する場合、合格者最低点、合格者平均点、倍率の3つがわかれば、受験者全体の平均点と標準偏差を算定できます。ただ、東大入試は文系と理系で問題が異なります。そのため、受験者と合格者の分布は文系と理系では別モノとして扱う必要があります。
でも、今回は文系についても理三の合格者レベルの人数を推定したいので、分布の基準を合わせて、同じ土俵で比較する必要があります。そこで、いくつかの指標を科類別に一覧比較して、東大文系と東大理系の基準を合わせ方を検討してみます。これまでに算定したり引用した指標から、文理共通のものをを並べると、このようになります。
ぱっと見ると、色をつけた文二と理二に近い数字が並んでいることがわかります。この表の右端に文二と理二の差を記載しましたが、差はかなり小さく、文二と理二はほぼ同じ学力であると言えそうです。一方で、先の表4を見ると、合格者平均点は文二362.3点、理二339.2点と文二が23.1点も高くなっています。これは文理の入試科目の差が出ている影響です。
この差の23.1について、文二＞理二の指標が多い（特に駿台公表の合格者平均偏差値・高2）であることから、ほんの少し下げる方が妥当性が高そうです。そこで、東大入試の文系点数＝理系点数＋22.5点であるとして、文系の点数から22.5点のマイナス補正を行います。
この補正を行った上で、受験者が正規分布しているという前提の下、合格者最低点（補正後）・合格者平均点（補正後）・倍率から、受験者の平均点と標準偏差を計算すると、この表のようになります。
受験者平均点と標準偏差がわかれば、それぞれの科類で点数ごとの人数分布を描けるので、理三の合格最低点である379.8点以上の人数を計算できます。分布カーブと理三の合格最低点以上の人数はこのようになります。
5つの科類で合計242人が、東大入試の点数で理三に合格できることが推計できました。この2/3の165人が理一です。これまでの分析の通り、理一の上位層の厚みがこのモデルでも確認できます。
ちなみに、理三の受験者の平均点は355.4点と推定できますが、これは理一の合格最低点を上回っています。理三を受験する約340人のうち半数の170人は理一に合格できるレベルにあり、さらにその6割弱が理三に合格しているようです。
3. 東大理三の最下位学力の評価
これまでの3つのモデルでの、東大合格者における理三合格最低点以上の推定数を一覧にするとこの表のようになります。
一番上の①は、単純に3つのモデルを平均しています。理三以外で406人（定員比14%）が理三合格レベルとなりました。3つを並べると、共通テストモデルが突出して数字が大きいので、それに引っ張られて単純平均が上振れしている印象です。
これを補正しているのが、中央の②です。東大入試は1次と2次の総合点数で決まるため、共通テストモデルを1次、模試判定モデルを2次として、1次：2次＝110：440＝1：4で、2モデルで加重平均を計算してます。理三以外で286人（定員比10％）が、理三合格レベルとなりました。
東大入試正規分布モデルは、元々が東大入試の公表数値から作っているので、1次と2次の総合点です。そのため、この2モデル加重平均と東大入試正規分布モデルは同じ総合点型なので、さらに平均を取ると真の値に近づくだろうと思います。それが下段の③にある3モデル加重平均の欄です。
3モデルの加重平均では、理三以外で311人（定員比11％）が、理三合格レベルという推定結果です。理一の189人（17％）はこんな感じだろうと思いつつ、その次に定員比が多いのが文一（9％）なのもいい感じです。
この推定結果に理三合格の97人も合わせると、東大全体では408人（14％）が理三合格レベルにいるという推定結果となりました。
共通テストモデルの全体順位の分布を見ると、この3モデル加重平均（理三以外311人）に近い分布になっているのは、共通テスト偏差値71.8（理三以外で289人）の時でした。
共通テストモデルだけで推定した理三の合格最下位は、共通テスト偏差値70.7（819点）でした。複数モデルを組み合わせて推定すると、共通テスト偏差値71.8（833点）が東大理三の合格最下位となりましたが、おそらくこちらの方が実態に近いだろうと思います。
4. 最後に
東大理三の最下位合格は共通テスト偏差値71.8で、東大で約400人（理三除くと約310人）がこの水準にあるという見直し結果となりました。この場合、理三最下位合格者の全体順位（他大学も含む）は629位となります。これは、もう少し精査が必要です。
そこで、次回は東大以外も含めて日本の受験生で東大理三に合格できるのは何人かを評価したいと思います。
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