2022年 宮城大学 前期 大問2

$${10}$$個の値からなるデータ$${x_1,x_2,\dots,x_{10}}$$があり, そのうちの$${6}$$個の値からなる$${A}$$グループについては, 平均値が$${4}$$, 分散が$${7}$$であり, 残りの$${4}$$個の値からなる$${B}$$グループについては平均値が$${9}$$, 分散が$${9}$$である. このとき, 次の各問いに答えよ.
(1) $${A}$$グループに属する値の総和$${a}$$を求めよ.
(2) $${B}$$グループに属する値の総和$${b}$$を求めよ.
(3) データ全体の平均$${\bar{x}}$$を求めよ.
(4) $${A}$$グループに属する値の平方の総和$${c}$$を求めよ.
(5) $${B}$$グループに属する値の平方の総和$${d}$$を求めよ.
(6) データ全体の分散$${{s_x}^2}$$を求めよ.

解答
(1)
$${A}$$グループに属する$${6}$$個のデータを$${A_1,A_2,\dots,A_6}$$とする.
この$${6}$$個のデータの平均値が$${4}$$であるから,
$${\frac{A_1+A_2+\dots+A_6}{6}=4}$$
ここで, $${A_1+A_2+\dots+A_6}$$は$${A}$$グループの総和$${a}$$であるから,
$${\frac{a}{6}=4}$$
$${\therefore a=24}$$

(2)
(1)と同様に考えて, $${\frac{b}{4}=9}$$だから,
$${b=36}$$である.

(3)
(1),(2)より, $${10}$$個のデータの総和は$${24+36=60}$$だから,
全体の平均は, $${\frac{60}{10}=6}$$である.

(4)
$${A}$$グループの分散が$${7}$$であるから, (1)を用いて
$${\frac{(A_1-4)^2+(A_2-4)^2+\dots+(A_6-4)^2}{6}=7}$$
ここで, $${{A_1}^2+{A_2}^2+\dots+{A_6}^2=c}$$だから, 上記の式を整理すると
$${c-8a+16\times{6}=42}$$
$${a=24}$$だから,
$${c=8\times{24}-16\times{6}+42}$$
$${=32\times{6}-16\times{6}+7\times{6}}$$
$${=6\times(32-16+7)}$$
$${=6\times{23}}$$
$${=138}$$である.

(5)
(4)と同様に考えて,
$${d-18\times{36}+81\times{4}=36}$$
$${d=18\times{36}-9\times{36}+36}$$
$${=36\times(18-9+1)}$$
$${=360}$$である.

(6)
全体の分散は, (3)より全体の平均が$${6}$$だから,
$${{s_x}^2=\frac{(A_1-6)^2+(A_2-6)^2+\dots+(A_6-6)^2+(B_1-6)^2+\dots+(B_4-6)^2}{10}}$$
$${=\frac{(138+360)-12\times{60}+36\times{10}}{10}}$$
$${=\frac{498-720+360}{10}}$$
$${=13.8}$$である.