2022年 三重大学 前期 人文 大問5

以下の問いに答えよ.
(1) 放物線$${y=x^2+3x-9}$$と直線$${y=3x}$$で囲まれた部分の面積$${S}$$を求めよ.
(2) $${f(x)=-6-\int_{0}^{1}(6xt-4)f(t)dt}$$を満たす関数$${f(x)}$$を求めよ.
(3) $${s\lt{1}}$$のとき, 関数$${y=2x^3-3(s+1)x^2+6sx+1}$$の増減を調べ, 極値を求めよ. さらに$${0\lt{s}\lt{1}}$$として, この関数の区間$${0\le{x}\le{2s}}$$における最大値を求めよ.

解答
(1)
放物線と直線の交点の$${x}$$座標は,
$${x^2+3x-9=3x \Leftrightarrow x^2-9=0}$$より, $${x=\pm{3}}$$
放物線が下に凸なので, 区間$${-3\le{x}\le{3}}$$においては直線が放物線の上方にあるから,
$${S=\int_{-3}^{3}\lbrace{3x-(x^2+3x-9)}\rbrace{dx}}$$
$${=\int_{-3}^{3}(-x^2+9)dx}$$
$${=\Big[{-\frac{1}{3}x^3+9x}\Big]_{-3}^{3}}$$
$${=-9+27-(9-27)=36}$$

(2)
両辺の$${x}$$の次数に注目すると, 右辺は$${x}$$について1次式以下であるから,
実数$${a,b}$$を用いて$${f(x)=ax+b}$$とおく.
このとき,$${f(t)=at+b}$$だから,
$${\int_{0}^{1}(6xt-4)f(t)dt=\int_{0}^{1}\lbrace{6xtf(t)-4f(t)}\rbrace{dt}}$$
$${=\int_{0}^{1}\lbrace{6xt(at+b)-4(at+b)}\rbrace{dt}}$$
$${=\int_{0}^{1}\lbrace{6axt^2+(6bx-4a)t-4b}\rbrace{dt}}$$
$${=\Big[{2axt^3+(3bx-2a)t^2-4bt}\Big]_{0}^{1}}$$
$${=2ax+(3bx-2a)-4b=(2a+3b)x-2a-4b}$$
よって等式の右辺は
$${-6-\lbrace{(2a+3b)x-2a-4b}\rbrace{=}-(2a+3b)x+(2a+4b-6)}$$
となるから,
$${ax+b=-(2a+3b)x+(2a+4b-6)}$$より,
　$${a=-2a-3b}$$
　$${b=2a+4b-6}$$
の連立方程式を得る.
これを解いて$${a=-b, b=6}$$より$${a=-6, b=6}$$であるから,
求める関数は$${f(x)=-6x+6}$$である.

(3)
$${y^{\prime}=6x^2-6(s+1)+6s=6(x-s)(x-1)}$$なので,
$${y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=s,1}$$
いま$${s\lt{1}}$$なので増減表は以下となる.

$$
\begin{array}{c:c:c:c:c:c}
x & & s & & 1 & & \\
y^{\prime} & + & 0 & - & 0 &+ \\
y & \nearrow & & \searrow & & \nearrow
\end{array}
$$

よって,
極大値をとるのは$${x=s}$$のときであり, その値は
$${y=2s^3-3(s+1)s^2+6s^2+1=-s^3+3s^2+1}$$
極小値をとるのは$${x=1}$$のときであり, その値は
$${y=2-3(s+1)+6s+1=3s}$$である.

また, $${0\lt{s}}$$より$${0\lt{s}\lt{2s}}$$だから,
区間$${0\le{x}\le{2s}}$$では必ず極大値となる$${x=s}$$を含むから,
最大値を取り得るのは$${x=s}$$または$${x=2s}$$のときに限られる.
$${x=s}$$のとき, 先の通り$${y=-s^3+3s^2+1}$$であり,
$${x=2s}$$のとき, $${y=16s^3-12(s^3+s^2)+12s^2+1=4s^3+1}$$である.
$${x=2s}$$で最大値をとるのは$${4s^3+1\lt{-s^3+3s^2+1}}$$のとき,
すなわち$${5s^3-3s^2\lt{0}}$$より$${\frac{3}{5}\lt{s}\lt{1}}$$だから
$${0\lt{s}\le{\frac{3}{5}}}$$のとき最大値$${-s^3+3s^2+1}$$,
$${\frac{3}{5}\lt{s}\lt{1}}$$のとき最大値$${4s^3+1}$$である.

補足
(3)の$${x=s}$$と$${x=2s}$$のどちらで最大値を取るかについて,
手元の資料(旺文社)では範囲が$${\frac{3}{4}}$$を境としています.
追記
教学社では範囲の境は$${\frac{3}{5}}$$となっています.