2022年 鳥取大学 前期 農 大問8

直線$${y=x}$$と曲線$${y=x|x-1|}$$によって囲まれる図形の面積を求めよ.

解答
$${x-1\ge{0}}$$, すなわち$${x\ge{1}}$$のとき
曲線の方程式は$${y=x^2-x}$$である
これと直線$${y=x}$$の交点の$${x}$$座標は,
$${x^2-x=0}$$より$${x^2-2x=0}$$だから$${x=0,2}$$
よって$${x\ge{1}}$$における交点は$${(2,2)}$$である.
$${x-1\lt{0}}$$, すなわち$${x\lt{1}}$$のとき
曲線の方程式は$${y=-x^2+x}$$である
これと直線$${y=x}$$の交点の$${x}$$座標は,
$${-x^2+x=x}$$より$${x^2=0}$$だから$${x=0}$$
これは$${x\lt{1}}$$を満たすから, $${x\lt{1}}$$における交点は$${(0,0)}$$である.
したがって求める面積は,
$${\int_0^1(x-x+x^2)dx+\int_1^2(x-x^2+x)dx}$$
$${=\Big[{\frac{1}{3}x^3}\Big]_0^1+\Big[{-\frac{1}{3}x^3+x^2}\Big]_1^2}$$
$${=\frac{1}{3}+(-\frac{8}{3}+4)-(-\frac{1}{3}+1)}$$
$${=1}$$である.