2022年 宮城大学 前期 大問3

$${k}$$は定数とし, $${k\gt{0}}$$とする.
関数$${f(x)=x^3-kx^2-k^2x}$$について, 次の各問いに答えよ.
(1) 方程式$${f(x)=0}$$を解け.
(2) 関数$${f(x)}$$の極大値および極小値と, そのときの$${x}$$の値を求めよ.
(3) 次の条件を満たす定数$${k}$$の値の範囲を求めよ.
　$${\displaystyle \int_{0}^{k}f(x)dx\ge{f(k)}}$$

解答
(1)
$${x^3-kx^2-k^2x=0}$$
$${\Leftrightarrow x(x^2-kx-k^2)=0}$$
$${\therefore x=0, \dfrac{k\pm{k\sqrt{5}}}{2}}$$

(2)
$${f^{\prime}(x)=3x^2-2kx-k^2=(3x+k)(x-k)}$$
$${f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=k,-\frac{k}{3}}$$
$${k\gt{0}}$$より, $${-\frac{k}{3}\lt{k}}$$だから,
$${x=-\dfrac{k}{3}}$$のとき極大値$${\dfrac{5}{27}k^3}$$,
$${x=k}$$のとき極小値$${-k^3}$$をとる.

(3)
$${\int_{0}^{k}f(x)dx=\Big[{\frac{1}{4}x^4-\frac{k}{3}x^3-\frac{k^2}{2}x^2}\Big]_0^k}$$
$${=\frac{1}{4}k^4-\frac{1}{3}k^4-\frac{1}{2}k^4}$$
$${=-\frac{7}{12}k^4}$$
$${f(k)=-k^3}$$
よって条件は, $${-\frac{7}{12}k^4\ge{-k^3}}$$と表せる.
これを整理して, $${k^3(\frac{7}{12}k-1)\le{0}}$$
いま$${k\gt{0}}$$より$${k^3\gt{0}}$$だから, $${\frac{7}{12}k-1\le{0}}$$
したがって, 求める値の範囲は$${0\lt{k}\le{\dfrac{12}{7}}}$$