2022年 公立はこだて未来大学 前期 大問1

$${0\lt{x}\lt{2}}$$を満たす実数$${x}$$に関する2つの条件
　$${p: 2\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^{2x-1}-9\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^x+1\lt{0}}$$

　$${q: \cos\Big(\dfrac{\pi}{2x+1}\Big)\Big\{\cos\Big(\dfrac{\pi}{2x+1}\Big)-\dfrac{1}{2}\Big\}\Big\{\cos\Big(\dfrac{\pi}{2x+1}\Big)+2\Big\}\lt{0}}$$
について, 以下の問いに答えよ.
(1) 条件$${p}$$を満たす$${x}$$の範囲を求めよ.
(2) 条件$${q}$$を満たす$${x}$$の範囲を求めよ.
(3) 命題$${p\Rightarrow{q}}$$の真偽を調べよ. また, 命題$${p\Rightarrow{q}}$$の裏を述べ, その真偽を調べよ.

解答
(1)
$${(\frac{1}{4})^x=t}$$とおく.
$${0\lt{x}\lt{2}}$$より, $${\frac{1}{16}\lt{t}\lt{1}}$$である.
このとき, 条件$${p}$$は$${8t^2-9t+1\lt{0}}$$とできて,
$${8t^2-9t+1=(8t-1)(t-1)}$$だから, $${t}$$の範囲とあわせて$${\frac{1}{8}\lt{t}\lt{1}}$$である.
よって, $${\frac{1}{8}\lt{(\frac{1}{4})^x}\lt{1}}$$
これは$${(\frac{1}{2})^3\lt{(\frac{1}{2})^2x}\lt{(\frac{1}{2})^0}}$$とできるから
$${0\lt{2x}\lt{3}}$$
$${\therefore 0\lt{x}\lt{\dfrac{3}{2}}}$$

(2)
$${\cos(\frac{\pi}{2x+1})=s}$$とおく.
$${0\lt{x}\lt{2}}$$より, $${\frac{\pi}{5}\lt{\frac{\pi}{2x+1}}\lt{\pi}}$$だから, $${-1\lt{s}\lt{\cos{\frac{\pi}{5}}}}$$である.
このとき条件$${q}$$は$${s(s-\frac{1}{2})(s+2)\lt{0}}$$とできて,
$${\cos{\frac{\pi}{5}}\gt{\cos{\frac{\pi}{3}}}=\frac{1}{2}}$$だから,
$${s}$$の範囲とあわせて$${0\lt{s}\lt{\frac{1}{2}}}$$
よって, $${\frac{\pi}{3}\lt{\frac{\pi}{2x+1}}\lt{\frac{\pi}{2}}}$$
$${\therefore \dfrac{1}{2}\lt{x}\lt{1}}$$

(3)
命題$${p\Rightarrow{q}}$$は
$${0\lt{x}\lt{\frac{3}{2}}\Rightarrow{\frac{1}{2}\lt{x}\lt{1}}}$$となるが,
これは$${x=\frac{1}{3}}$$が反例となるから偽である.

命題$${p\Rightarrow{q}}$$の裏は$${\bar{p}\Rightarrow{\bar{q}}}$$, すなわち
$${x\le{0}, \frac{3}{2}\le{x}\Rightarrow{x\le{\frac{1}{2}},1\le{x}}}$$である.
これは$${0\lt{\frac{1}{2}}, 1\le{\frac{3}{2}}}$$だから真である.