2022年 岐阜大学 前期 看護 大問3
数列$${\lbrace{a_n}\rbrace}$$を初項が$${12}$$で公差$${8}$$の等差数列とする.
また, 次の条件をで定められる数列$${\lbrace{b_n}\rbrace}$$がある.
$${b_1=3,b_{n+1}=b_n+a_n \space(n=1,2,3,\dots)}$$
以下の問いに答えよ.
(1) 数列$${\lbrace{a_n}\rbrace}$$の一般項$${a_n}$$を求めよ.
(2) 数列$${\lbrace{a_n}\rbrace}$$の和$${\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k}$$を求めよ.
(3) 数列$${\lbrace{b_n}\rbrace}$$の一般項$${b_n}$$を求めよ.
(4) 和$${S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{b_k}}$$を求めよ.
(5) 数列$${\lbrace{c_m}\rbrace}$$を, 次のように定める.
各自然数$${m}$$に対して, (4)の和$${S_n}$$が$${\dfrac{1}{2}-S_n\lt{\dfrac{1}{10^m}}}$$となるような最小の自然数$${n}$$を$${c_m}$$とする.
このとき, 和$${\displaystyle\sum_{k=1}^{m}c_k}$$を求めよ.
解答
(1)
数列の定義より,$${a_n=12+8(n-1)=8n+4}$$である.
(2)
(1)より
$${\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{n}(8k+4)}$$
$${=4n(n+1)+4n}$$
$${=4n^2+8n}$$である.
(3)
数列の定義より, 数列$${\lbrace{b_n}\rbrace}$$の階差数列が$${\lbrace{a_n}\rbrace}$$だから,
$${n\ge{2}}$$のとき
$${b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}a_k}$$
$${=3+4(n-1)^2+8(n-1)}$$
$${=4n^2-1}$$
この式は$${n=1}$$のときも成り立つから
$${b_n=4n^2-1}$$である.
(4)
(3)より, $${b_k=(2k-1)(2k+1)}$$だから,
$${\frac{1}{b_k}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})}$$
よって, 和$${S_n}$$は
$${S_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\dots+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})}$$
$${=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})}$$
$${=\dfrac{n}{2n+1}}$$である.
(5)
(4)より, $${\frac{1}{2}-S_n=\frac{1}{2}-\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2(2n+1)}}$$だから,
$${\frac{1}{2}-S_n\lt{\frac{1}{10^m}}}$$は$${2(2n+1)\gt{10^m}}$$とできる.
これを整理して$${n\gt{25\times{10^{m-2}}-\frac{1}{2}}}$$
$${m\ge{2}}$$のとき, $${25\times{10^{m-2}}}$$が自然数となるから,
$${n\gt{25\times{10^{m-2}}-\frac{1}{2}}}$$を満たす最小の自然数は$${25\times{10^{m-2}}}$$である.
$${m=1}$$のときについて考える.
上記で得た式$${25\times{10^m}}$$に$${m=1}$$を代入すると,
$${\frac{25}{10}=\frac{5}{2}}$$となり, これは自然数でないから$${c_1}$$にはなり得ない.
実際に$${c_1}$$を考えると,
$${2(2n+1)\gt{10}}$$より$${2n\gt{4}}$$だから, これを満たす自然数は$${n=3}$$である.
これが$${c_1}$$であるから, 求める和は
$${3+\sum_{k=2}^{m}c_k}$$
$${=3+\sum_{k=1}^{m}(25\times{10^{m-2}})-\frac{5}{2}}$$
$${=\frac{25}{9}(10^{m-1}-\frac{1}{10})+\frac{1}{2}}$$
$${=\dfrac{25\times{10^{m-1}}+2}{9}}$$