2022年 鹿児島大学 前期 理(化/生)他 大問5

平行六面体$${OAFB-CEGD}$$を考える. $${t}$$を正の実数とし, 辺$${OC}$$を$${1:t}$$に内分する点を$${M}$$とする. また三角形$${ABM}$$と直線$${OG}$$の交点を$${P}$$とする.
さらに, $${\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}}$$とする.
(1) $${\overrightarrow{OP}}$$を$${\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},t}$$を用いて表せ.
(2) 四面体$${OABE}$$の体積を$${V_1}$$とし, 四面体$${OABP}$$の体積を$${V_2}$$とするとき, これらの比$${V_1:V_2}$$を求めよ.
(3) 三角形$${OAB}$$の重心を$${Q}$$とする. 直線$${FC}$$と直線$${QP}$$が平行になるとき, $${t}$$の値を求めよ.

解答
(1)
点$${M}$$は$${OC}$$を$${1:t}$$に内分する点だから
$${\overrightarrow{OM}=\frac{1}{1+c}\overrightarrow{c}}$$
である.
また, 点$${P}$$は$${OG}$$上の点なので, 実数$${k}$$を用いて
$${\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OG}=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}$$
と表せる.
ここで, $${P}$$は3点$${A,B,M}$$を含む平面上にあるから, 実数$${m,n}$$を用いて
$${\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+(1-m-n)\overrightarrow{c}}$$
と表すことができる.
$${\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}}$$は一次独立だから, 各係数を比較して
$${k=m=n=(1-m-n)\frac{1}{1+t}}$$が成り立つ.
この式を整理して, $${k=\frac{1-2k}{1+t}}$$であるから, $${t\not=0}$$より
$${k=\frac{1}{t+3}}$$を得る.
よって,  $${\overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{t+3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})}$$である.

(2)
四面体$${OABE}$$と$${OABP}$$は底面が共通なので,
体積比は$${O,A,B}$$を含む平面と$${E,P}$$の距離の比を考えればよい.
また, 平行六面体ゆえ底面$${OAFB}$$と$${E}$$の距離は, $${OAFB}$$と$${G}$$の距離に等しいから, 体積比は$${O,A,B}$$を含む平面と$${G,P}$$の距離の比を考えればよい.
さらに, $${O,G,P}$$は同一直線上にあるから, 体積比は$${OG,OP}$$の長さの比を考えればよい.
これは(1)より, $${OP=\frac{1}{t+3}OG}$$であるから,
$${OG:OP=1:\frac{1}{t+3}}$$
以上より, $${V_1:V_2=1:\dfrac{1}{t+3}}$$である.

(3)
$${Q}$$は$${\triangle{OAB}}$$の重心だから,
$${\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}$$である.
よって, $${\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=-\frac{t}{3(t+3)}\overrightarrow{a}-\frac{t}{3(t+3)}\overrightarrow{b}+\frac{1}{t+3}\overrightarrow{c}}$$
また, $${\overrightarrow{FC}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}$$である.
$${\overrightarrow{QP}}$$と$${\overrightarrow{FC}}$$が平行なので, 実数$${k}$$を用いて
$${k\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{FC}}$$と表せるから, $${\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}}$$が一次独立であることと合わせて,
$${\frac{tk}{3(t+3)}=1, \frac{k}{t+3}=1}$$
この2式より, $${\frac{tk}{3(t+3)}=\frac{k}{t+3}}$$
いま$${t\gt{0}}$$より$${t+3\not=0}$$だから
$${tk=3k}$$, すなわち$${(t-3)k=0}$$
$${\overrightarrow{FC}\not=\overrightarrow{0}}$$より$${k\not=0}$$だから$${t-3=0}$$
$${\therefore t=3}$$