2022年 宮城教育大学 前期 中等理科 大問1

$${\cos{\theta}= \dfrac{1}{7} \space (0 < \theta < \frac{\pi}{2})}$$とし、
$${a_n=7^{n-1}・\dfrac{\sin{n{\theta}}}{\sin{\theta}} \space (n=1,2,3, \dots)}$$とおく。
次の問いに答えよ
(1) $${\sin{\theta}}$$と$${\sin{2\theta}}$$の値をそれぞれ求めよ
(2) 数列$${\lbrace a_n \rbrace}$$が漸化式
　　$${a_{n+2}=2a_{n+1}-49a_n \space(n=1,2,3, \dots)}$$
　　を満たすことを示せ
(3) 自然数$${n}$$に関する次の命題
　「$${a_n}$$と$${a_{n+1}}$$は共に7で割り切れない整数である」
　が全ての自然数$${n}$$について成り立つことを示せ

解答
(1)
$${0 < \theta < \frac{\pi}{2}}$$より$${\sin{\theta} > 0}$$なので
$${\sin{\theta}= \sqrt{1-(\frac{1}{7})^2}= \dfrac{4\sqrt{3}}{7}}$$
$${\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}=2 \times \frac{4\sqrt{3}}{7} \times \frac{1}{7}= \dfrac{8\sqrt{3}}{49}}$$

(2)
定義より、$${a_{n+2}=7^{n+1}・\frac{\sin{(n+2)\theta}}{\sin{\theta}}}$$・・・①
ここで、$${\sin{(n+2)\theta}}$$について
$${\sin{(n+2)\theta}=\sin{(n\theta+2\theta)}= \sin{n\theta}\cos{2\theta} + \cos{n\theta}\sin{2\theta}}$$・・・②
(1)を用いて
②$${= \sin{n\theta} \big((\frac{1}{7})^2-(\frac{8\sqrt{3}}{7})^2 \big) + \frac{8\sqrt{3}}{49}\cos{n\theta}}$$
$${=-\frac{47}{49}\sin{n\theta} + \frac{8\sqrt{3}}{49}\cos{n\theta}}$$
$${= \frac{1}{7^2}・(-47\sin{n\theta} + 8\sqrt{3}\cos{n\theta})}$$
$${\therefore}$$①$${=7^{n-1}・\dfrac{-47\sin{n\theta} + 8\sqrt{3}\cos{n\theta}}{\sin{\theta}}}$$

同様に$${a_{n+1}=7^n・\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin{\theta}}}$$を(1)を用いて整理すると、
$${a_{n+1}=7^n・\frac{\frac{1}{7}\sin{n\theta} + \frac{4\sqrt{3}}{7}\cos{n\theta}}{\sin{\theta}}}$$
$${=7^{n-1}・\dfrac{\sin{n\theta}+ 4\sqrt{3}\cos{n\theta}}{\sin{\theta}}}$$

$${a_{n+2}とa_{n+1}}$$から$${\cos{n\theta}}$$を消去すると
$${a_{n+2}-2a_{n+1}=7^{n-1}・\dfrac{-47\sin{n\theta}+8\sqrt{3}\cos{n\theta}-2\sin{n\theta}-8\sqrt{3}\cos{n\theta}}{\sin{\theta}}}$$
$${=7^{n-1}・\dfrac{-49\sin{n\theta}}{\sin{\theta}}}$$
ここで、$${a_n=7^{n-1}・\frac{\sin{n\theta}}{\sin{\theta}}}$$であるから、
$${7^{n-1}・\frac{-49\sin{n\theta}}{\sin{\theta}}=-49a_n}$$
以上より、$${a_{n+2}-2a_{n+1}=-49a_n}$$
すなわち、$${a_{n+2}=2a_{n+1}-49a_n}$$が示された

(3)
数学的帰納法により証明する
(i) $${n=1}$$のとき
$${a_1=1, \space a_2=7・\dfrac{\sin{2\theta}}{\sin{\theta}}=7・\dfrac{8\sqrt{3}}{49}・\dfrac{7}{4\sqrt{3}}=8}$$より、
$${a_1,a_2}$$は共に7で割り切れない整数である
(ii) $${n=k}$$のとき、$${a_k,a_{k+1}}$$が共に7で割り切れない整数であると仮定する
すなわち、整数$${x,y}$$と、$${1 \le p,q \le 6}$$なる整数$${p,q}$$を用いて
$${a_k=7x+p,a_{k+1}=7y+q}$$と表せる
$${n=k+1}$$のとき、(2)より
$${a_{k+2}=2a_{k+1}-49a_k=2(7y+q)-49(7x+p)=7(2y-49x-7p)+2q}$$
となるから、$${a_{k+2}}$$は7で割った時の余りが$${2q}$$となる整数である
いま$${1 \le q \le 6}$$であるから、$${2q=2,4,6,8,10,12}$$のいずれかであるが、
これらはいずれも7で割り切れない
したがって、$${a_{k+2}}$$は7で割り切れない
(i)(ii)より、全ての自然数$${n}$$について、命題が成り立つ