ユークリッド原論【命題2】別版1

任意の地点の点a[2]から、任意の地点の任意の長さを持つ線分b[1]
と同じ長さの線分を作図する事が出来る。

線分b[1]の端を、点a[3]a[4]とする。・・・⓪

条件a[2]a[3]=a[2]a[1]=a[3]a[1]を満たすa[1]描く。(命題1)　・・・①

点a[1]を中心として、a[1]a[2]を半径とした円b[1]を描く。
2線分a[1]a[2],a[1]a[3]を延長し、直線c[1],c[2]を描く。
直線c[1][2]と円b[1]の交点を、交点d[1][2]とし、
直線c[1]との2交点はd[1-1][1-2]とし、
直線c[2]との2交点はd[2-1][2-2]とする。　・・・②

4交点dの内2交点は、a[2]a[3]と同じ地点にある。
仮に、a[2]とd[1-1]、a[3]とd[2-1]が同じ地点にあるとする。　・・・③

交点d[2-1]を中心とし、線分a[2-1]a[4]を半径とし、円b[2]を描く。
円b[2]と直線c[2]との交点をd[3-n]とし、
2交点を、d[3-1]d[3-2]とする。
2線分a[1]d[3]の内、a[1]から最も長い線分をa[1]d[3-2]とする。・・・④

点a[1]を中心とし、線分a[1]a[3-2]を半径として、円b[3]を描く。
円b[3]と直線c[1]との交点を、交点d[4-n]とし、
2交点を、d[4-1][4-2]とする。
2交点の内、a[1]からa[2]を通って結ばれるd[4]を、
d[4-2]とする。 ・・・⑤

交点d[1-1]を中心として、線分d[1-1]d[4-2]を半径とする円b[4]を描く。
円b[4]の円周の任意の点e[n]とする。
線分(半径)e[n]d[1-1]をf[n]とする。・・・⑥

②より、
線分a[1]d[2-1]は円b[1]の半径。
線分a[1]d[1-1]は円b[1]の半径。
線分a[1]d[2-1],a[1]d[1-1]は同じ円d[1]の半径であるから、
長さa[1]d[1-1]=a[1]d[2-3]。　・・・⑦

④より、
線分d[2-1]a[4]は円b[2]の半径。
線分d[2-1]d[3-2]は円b[2]の半径。
線分d[2-1]a[4],d[2-1]d[3-2]は同じ円b[2]の半径であるから、
長さd[2-1]a[4]=d[2-1]d[3-2]。　・・・⑧

⑤より、
線分a[1]a[3-2]は円b[3]の半径。
線分a[1]a[4-2]は円b[3]の半径。
線分[1]a[3-2],a[1]a[4-2]は同じ円b[3]の半径であるから、
長さ[1]a[3-2]=a[1]a[4-2]。　・・・⑨

円b[1]の任意の半径をg[n]とする。
円b[3]の任意の半径をh[n]とする。　・・・⑩

⑩より、
a[1]d[3-2]は、h[n]。
a[1]d[4-2]は、h[n]。
a[1]d[2-1]は、g[n]。
a[1]d[1-1]は、g[n]。
ならば、
長さa[1]d[3-2]=a[1]d[4-2]
長さa[1]d[2-1]=a[1]d[1-1]
ならば、
長さa[1]d[3-2]-a[1]d[2-1]=a[1]d[4-2]-a[1]d[1-1]・・・⑪

線分a[1]d[3-2]を描く時、
交点d[2-1]を通るから、
線分a[1]d[3-2]はa[1]d[2-1]d[3-2]と表記できる。
ならば、長さa[1]d[2-1]d[3-2]=a[1]d[3-2]。
長さa[1]d[2-1]d[3-2]=a[1]d[2-1]+d[2-1]d[3-2]。
ならば、長さa[1]d[3-2]=a[1]d[2-1]+d[2-1]d[3-2]。
ならば、⑪a[1]d[3-2]-a[1]d[2-1]=d[2-1]d[3-2]。・・・⑫

線分a[1]d[4-2]を描く時、
交点d[1-1]を通るから、
線分a[1][d-4]はa[1]d[1-1]d[4-2]と表記できる。
ならば、長さa[1]d[1-1]d[4-2]=a[1][d-4]
長さa[1]d[1-1]d[4-2]=a[1]d[1-1]+d[1-1]d[4-2]。
ならば、長さa[1][d-4]=a[1]d[1-1]+d[1-1]d[4-2]。
ならば、⑪a[1]d[4-2]-a[1]d[1-1]=d[1-1]d[4-2]。・・・⑬

⑪、⑫より、
h[n]-g[n]=d[2-1]d[3-2]。
⑪、⑬より、
h[n]-g[n]=d[1-1]d[4-2]。
ならば、d[2-1]d[3-2]=d[1-1]d[4-2]・・・⑭

円b[2]の任意の半径をi[n]とする。・・・⑮

⑮、④より、
d[2-1]d[3-2]=i[n]
d[2-1]a[4]=i[n]
d[2-1]d[3-2]=d[2-1]a[4]・・・⑯

⑭、⑯より
d[1-1]d[4-2]=d[2-1]a[4]・・・⑰

③より、
a[2]とd[1-1]、a[3]とd[2-1]が同じ地点にあるから、
長さd[2-1]a[4]=a[3]a[4]・・・⑱

⑰、⑱より、
d[1-1]d[4-2]=a[3]a[4]。

⓪より、
線分a[3]a[4]は線分b2であるから
長さd[1-1]d[4-2]=b2。

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補足1：
もしコンパスで、長さをとる事が許されるならば、
長さa[3]a[4]を持つ、a[1]を端とした線分の他方の端xを描く事が出来る。

補足2：
d[1-1]を中心とし、線分d[1-1][4-2]を半径とした円b[4]を描く。
円b4の任意の半径j[n]もまた全て線分b2の長さを持つ。