ユークリッド原論【命題2】

任意の地点の点a[1]から、任意の地点の任意の長さを持つ線分b[1]
と同じ長さの線分を作図する事が出来る。

線分b[1]の端を、点a[2]a[3]とする。

条件a[1]a[2]=a[1]a[4]=a[2]a[4]を満たす点a[4]を作図する。(命題1)

点a[4]から点a[2]の方向へ、半直線b[1]を描く。
点a[2]を中心とし、線分a[2]a[3]を半径として、円b[2]を描く。
半直線b[1]と、円b[2]の交点をa[3']とする。
点a[4]から点a[1]の方向へ、半直線b[3]を描く。
点a[4]を中心とし、a[4]a[3']を半径として、円b[3]を描く。
円b[3]と半直線[3]の交点を、a[3'']とする。

長さa[2]a[3],a[2]a[3']は互いに円b[2]の半径であるから、
a[2]a[3]=a[2]a[3']・・・①

長さa[4]a[3'],a[4]a[3'']は、互いに円b[3]の半径であるから、
a[4]a[3']=a[4]a[3'']・・・②

a[4]a[3']-a[4]a[2]=a[2]a[3']
①より、a[2]a[3']=a[2]a[3]

命題１より、a[4]a[1]=a[4]a[2]・・・③

②,③より、a[4]a[3'']-a[4]a[1]=a[4]a[3']-a[4]a[2]

a[4]a[3'']-a[4]a[1]=a[1]a[3'']
a[4]a[3']-a[4]a[2]=a[2]a[3']
より、a[1]a[3'']=a[2]a[3']

①より、a[1]a[3'']=a[2]a[3]