ユークリッド原論【命題3】

【命題3】

任意の地点に、点a[1]a[2],a[3]a[4]が描かれ、
2点a[1]a[2],2点a[3]a[4]がそれぞれ結ばれている時、
a[1]から、長さa[3]a[4]を持つ線分a[1][5]を描く事が出来る。

命題1より、点a[1]と点a[3]から、
長さa[1]a[3]=a[1]a[5]=a[3]a[5]となるa[5]を描く。・・・①

a[5]とa[1]を結び、a[5]からa[1]の方向に延長した直線b[1]を描く。
a[5]とa[3]を結び、a[5]からa[3]の方向に延長した直線b[2]を描く。

点a[3]を中心とし、線分a[3]a[4]を半径とする円c[1]を描く。
円c[1]と直線b[2]の交点を、d[1]とする。
円c[1]の半径をe[n]とする・・・③

点a[5]を中心とし、線分a[5]d[1]を半径とする円c[2]を描く。
円c[2]と直線b[1]の交点を、d[2]とする。
円c[2]の半径をf[n]とする

線分a[5]d[1],a[5]d[2]は互いに半径f[n]であるから、
長さa[5]d[2]=a[5]d[1]。

①より、長さa[5]a[1]=a[5]a[3]。

従って、a[5]d[1]-a[5]a[3]=a[5]d[2]-a[5]a[1]。
これを長さxとする。
長さa[1]d[2]=x
長さa[3]d[1]=x
したがって長さa[1]d[2]=a[3]d[1]。・・・④

③より、線分a[3]d[1],a[3]a[4]は互いにf[n]であるから、
長さa[3]d[1]=a[3]a[4]。

③、④より、
a[3]a[4]=a[1]d[2]。

以上より、
任意の地点に、点a[1]a[2],a[3]a[4]が描かれ、
2点a[1]a[2],2点a[3]a[4]がそれぞれ結ばれている時、
a[1]から、長さa[3]a[4]を持つ線分を描く事が出来る。