山本解析力学 §5 正準変換
§5.1 相空間上のハミルトンの原理
§5.1.1 ハミルトンの原理の相空間への持ち上げ
ラグランジュ方程式は点変換(q→Q)で形を変えない。
正準方程式は正準変換(q,p)→(Q,P)にたいして形を変えない
ハミルトンの原理を相空間に持ち上げる。公式は(5.1.7)となる。
端点でΔq=0，Δt=0を要請し，正準方程式が一挙に得られる。
§5.1.2 ルジャンドル変換
qとpは相空間では独立な変数（正準変数）である。
それは，状態空間→相空間;ラグランジアン→ハミルトニアンがルジャンドル変換であることによる。(p272真ん中へん)
とにかくこの節はq,pが独立であることがしっかりに書かれている。いずれ丁寧に読む。
§5.1.3 相空間上でのハミルトンの原理
相空間上では，始点と独立に任意の点を終点として指定できない。
大域的な主張は放棄しなければならない。
§5.1.4 局所座標によらない表現
§5.2 積分不変式とカルタンの原理
§5.2.2 積分不変式
カルタンの積分不変式：正準２形式の周回積分は不変である。
シンプレクティック条件としてあとで関連して学習する。
§5.3 正準変換
§5.3.1 正準変換とは
{q,p}→{Q(q,p,t),P(q,p,t)}
となっており，点変換より広く，q,pごちゃまぜで変換できる。
任意函数 W1(q,Q,t)の場合，p,Pが生成される。
W1(q,Q)はq→pとQ→P
W2(p,Q)はp→qとQ→P
W3(q,P)はq→pとP→Q
W4(p,P)はp→qとP→Q
例１：点変換 W3=Pi fi(q)
例２：恒等変換 W3=Pi qiのときp=P，q=Q
例３：例5.3.4 系の時間的発展は正準変換の一種。
§5.4 シンプレクティック写像
§5.4.1 シンプレクティック条件
計算は難しくないので、本文に従って計算する。
シンプレクティック条件は、p,q→P,Qが正準変換であるための必要条件であり、dp∧dqが不変ということである。
運動量と座標の区別は相対的、便宜的なものという見方が面白い。
5.4.6の導出は以下の通り。行列の成分を2行2列として理解した。
正準変換を正準２形式dpdqの不変な変換として定義できる。
正準変換とは、シンプレクティック多様体上の座標変換の事であり、これをシンプレクティック写像ともいう。
その条件の行列表現は5.4.6’となる。