Kermack-McKendrick方程式から基本再生産数を導出する(2)
だいぶご無沙汰してしまっております!!!!!!
前回の続きを書きました!!!!!
今回はKermack-McKendrick方程式から人口論で重要な役割を果たす閾値理論で出てくるEuler-Lotkaの方程式の導出で使う計算手法の紹介までやろうと思います!!!!!
Kermack-McKendrick方程式ってなんぞや状態の方は, 一つ前の記事を一読していただく方が良いでしょう!!!!
↓
https://note.com/virus_mania/n/n97044337f504
線形化してみる
微分方程式が与えられた時, その多くは解を与えずとも得られるデータが存在するのです. その方法こそが線形化. ということで, 今回は感染者数の挙動に興味があるので, $${i(t, \tau)}$$を線形化して見ましょう!!
まずは, 平衡解を与えましょう.
$${S}$$の平衡解は$${S_0}$$とし, $${i(t, \tau)}$$の平衡解を0とします. この時, 線形化方程式は以下のようになります.
$$
0 + \delta i(t, 0) = S_0\int_{0}^{\infty} \beta(\tau) (0 + \delta i(t, \tau))d\tau
$$
$$
\Big (\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \tau} \Big )(0 + \delta i(t, \tau)) = -\gamma(\tau) \delta i(t, \tau)
$$
そこから$${\delta}$$を消去して(本来は摂動を表しているため消去してはいけないが"稲葉寿 感染症の数理モデル"では消去しているため, その記法を採用する),
$$
i(t, 0) = S_0\int_{0}^{\infty} \beta(\tau) i(t, \tau))d\tau…(5)
$$
$$
\Big (\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \tau} \Big ) i(t, \tau) = -\gamma(\tau) i(t, \tau)…(6)
$$
という線形化方程式とその境界条件を得ることができました!!!
特性曲線法
偏微分方程式の求積法の一つである特性曲線法を用いて先ほど線形化した式の解を考えます. 詳しくは"金子晃 偏微分方程式入門"を参照してください!!!
特性曲線法は一般に準線形の偏微分方程式に対して一般解を導出する方法でした. そのため, まず(6)の左辺を展開して準線形っぽく見えるようにしましょう!!!!
すると,
$$
\frac{\partial}{\partial t} i(t, \tau) + \frac{\partial}{\partial \tau} i(t, \tau) = -\gamma(\tau) i(t, \tau)…(6.1)
$$
という式になって, これの左辺に着目すると, $${i(t, \tau)}$$に関する全微分
$$
di(t, \tau) = \frac{\partial}{\partial t} i(t, \tau) dt + \frac{\partial}{\partial \tau} i(t, \tau) d\tau…(7)
$$
と非常に似ていますよね?
そこで, tと$${\tau}$$を別の共通のパラメータで捉えてあげるべく,
$$
t = t(\alpha, \beta) \\
\tau = \tau(\alpha, \beta)
$$
のように$${\alpha}$$と$${\beta}$$の関数のように表してあげて, 全微分の式(7)の両辺を$${\alpha}$$で割ってあげると,
$$
\frac{di(t, \tau)}{d \alpha} = \frac{\partial}{\partial t} i(t, \tau) \frac{dt}{d \alpha} + \frac{\partial}{\partial \tau} i(t, \tau) \frac{d \tau}{d \alpha}…(8)
$$
という式を得ることができます.
ここで, 式(6.1)と係数を比較してあげると, $${\frac{d}{dt}}$$にまつわるところがそれぞれ,
$$
\frac{dt}{d \alpha} = 1 \\
\frac{d\tau}{d\alpha} = 1 \\
\frac{di}{d\alpha} = -\gamma (\tau) i(t, \tau)
$$
となり,
この微分方程式を解くとそれぞれ,
$$
t = \alpha + t(\beta)…(8) \\
\tau = \alpha + \tau(\beta)…(9) \\
i = G(\beta)e^{- \int \gamma(\tau(\alpha))d\alpha}…(10)
$$
という式達を得ることができますね.
ここで, 積分定数は$${\alpha}$$非依存であれば良いため, $${\beta}$$依存にしました. また, 今回$${G(\beta)}$$は任意の$${\beta}$$についての初等関数ということにします.
そして, $${\alpha}$$と$${\beta}$$を消去するために逆関数定理より,
$$
\frac{\partial(t, \tau)}{\partial(\beta, \alpha=0)} = det \begin{pmatrix}
t'(\beta) & \tau'(\beta) \\
1 & 1 \\
\end{pmatrix}
= t'(\beta) - \tau'(\beta) \neq 0
$$
を満たすようにうまく$${t(\beta)}$$と$${\tau(\beta)}$$を推測しましょう!!!
さて, 微分して引き算すると0にならない関数としては,
例えば以下のような関数を考えて見ましょう.
$$
t(\beta) = \beta \\
\tau(\beta) = 0
$$
これは確かに
$$
t'(\beta) - \tau'(\beta) \neq 0
$$
を満たしていることがわかると思います.
ここで, (8), (9), (10)に今得た$${t(\beta)}$$と$${\tau(\beta)}$$を代入すると,
$$
t = \alpha + \beta \\
\tau = \alpha \\
\Leftrightarrow t = \tau + \beta \\
\Leftrightarrow \beta = t - \tau \\
i = G(\beta)e^{- \int \gamma(\tau(\alpha))d\alpha} \\
\Leftrightarrow i = G(t - \tau)e^{- \int \gamma(\tau(\alpha))d\alpha}
$$
という結果が得られますね!!!
さて、これができればもう怖くないです!!!!
次回について
次回は形式的な式変形でEuler-Lotkaの方程式という数理人口論で用いられる便利な方程式をいよいよ導出しましょう!!!!!!