Fermi分布とBose分布

エネルギー準位が離散的に分布している場合

温度$${T}$$、化学ポテンシャル$${\mu}$$の外界と熱平衡状態にある、開いた系のエネルギー準位$${i}$$にいるFermion及びBosonの粒子数の期待値はそれぞれ

$$
\braket{n_i}_{T,\mu}=\frac{1}{\exp{\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{k_\mathrm BT}\right)\pm1}}
$$

で与えられる。但し$${\varepsilon_i}$$はエネルギー準位$${i}$$のエネルギーである。

エネルギー準位が連続的に分布している場合

エネルギー間隔$${[\varepsilon,\varepsilon+\mathrm d\varepsilon]}$$の間に状態数が$${D(\varepsilon)\mathrm d\varepsilon}$$あるとすると、エネルギー$${\varepsilon}$$を持つFermoin及びBosonの粒子数（密度）の期待値はそれぞれ

$$
\braket{n(\varepsilon)}_{T,\mu}=\frac{D(\varepsilon)}{\exp{\left(\frac{\varepsilon-\mu}{k_\mathrm BT}\right)\pm1}}
$$

で与えられる。