[備忘録]高校物理:レンズの公式の図示

レンズの公式など今後使うことも無いだろうが、高校時代、忘れるには惜しい図示を発見したので記録しておく

図示の根拠

視点が$${x=-∞}$$、レンズが$${x=0}$$、物体が$${x>0}$$にあるとする。視点とレンズは固定されているため、以降物体の$${x}$$座標を変数$${x}$$として表すことにする。また、レンズの焦点を$${f}$$、レンズから像までの距離を$${y}$$、倍率を$${m}$$とする。ただし、$${y}$$軸はレンズを原点とし、$${x}$$軸と平行で逆向きである。

$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f}\\
\frac{f}{x}+\frac{f}{y}=1\\
\frac{fy}{x}+f=y\\
f=y(1-\frac{f}{x})\\
f=y\frac{x-f}{x}\\
\frac{fx}{x-f}=y
$$

よって$${x}$$と$${y}$$の関係をグラフに表すと
$${(0,0),(f,f)}$$を通り$${x=f,y=f}$$を漸近線にもつ直角双曲線
が得られる

$$
m=|\frac{y}{x}|\\m=|\frac{f}{x-f}|
$$

よって$${m}$$と$${x}$$の関係をグラフに表すと
$${(0,1),(2f,1)}$$を通り$${x=f,y=0}$$を漸近線にもつ曲線が得られる。また$${\lim\limits_{x→f}m=∞}$$、$${\lim\limits_{x→±∞}m=0}$$である。

グラフとグラフから分かる事

グラフから、次のような知見が得られる。

• 凸レンズは、$${0}$$$${<}$$$${x}$$$${<}$$$${f}$$では虚像、$${f}$$$${<}$$$${x}$$では実像を結ぶ。

• 凸レンズは虚像は拡大し、実像は縮小する

• 凹レンズは常に虚像を結び、縮小する。