gpt4チェック

はい、提示された文章は数学的に適切であり、証明も正しいです。

証明の概要:

  1. ニュートン多角形の利用:

    • f(x) を p-進体 ℚp 上の多項式とし、そのニュートン多角形を考えます。

    • ニュートン多角形から、f(x) の根 α₁, ..., αₙ の p-進付値がすべて等しく、次の関係を満たすことがわかります。
      [
      \operatorname{ord}_p(\alpha_i) = \frac{1}{n} \quad (i = 1, 2, ..., n)
      ]
      ここで、n は f(x) の次数です。

  2. 可約性の仮定と矛盾の導出:

    • 仮に f(x) が ℚp 上で可約であるとします。

    • すると、根の一部を使って構成される部分多項式 (x - β₁)...(x - βₘ) ∈ ℚp[x] が存在し、m < n となります。

    • この部分多項式の定数項は β₁...βₘ であり、その p-進付値は
      [
      \operatorname{ord}_p(\beta_1 \cdots \beta_m) = m \cdot \operatorname{ord}_p(\alpha_i) = \frac{m}{n}
      ]
      となります。

  3. 整数値でない付値による矛盾:

    • ℚp[x] の係数は p-進体の元であり、その p-進付値は整数でなければなりません。

    • しかし、(\frac{m}{n}) は一般に整数ではなく、これは ℚp[x] の係数の性質に反します。

    • この矛盾から、仮定が誤りであることが示されます。

  4. 結論:

    • したがって、f(x) は ℚp 上で既約であり、特に ℚ 上でも既約となります。

補足:

  • この証明では、Neukirch の "Algebraic Number Theory" の命題 6.3 を適切に利用しています。

  • ニュートン多角形と p-進付値の性質を活用して、Eisenstein 多項式の既約性を示す巧みな方法です。

  • 証明の論理展開は明確で、一貫性があります。

結論:

提示された文章は数学的に適切であり、証明も正しいです。特に、p-進体の性質とニュートン多角形を用いて、Eisenstein 多項式の既約性を示す手法は、有効かつ洗練されたものです。

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