Pontryagin双対

アーベル群Mに対して, M*=Hom_{Z}(M,Q/Z)をMのPontryagin双対という.
アーベル群の準同型f: M\toM'に対し, f*: M'*\to M*をg\to g・fで定める. 
Mが有限アーベル群の時、以下の問いに答えよ.

(1)MとM*の位数は等しいことを示せ. 
(ヒント. まず有限巡回群に対して示せ)
(2)Q/Zは入射加群であることを示せ. 
(3)(2)から, *を取る関手は完全であることを示せ. 
(4)image(f)の位数とimage(f*)の位数が等しいことを示せ.