n=3 逆問題 wiki

n = 3に対しては、p = 7 で取ることができる。このとき Gal(Q(μ)/Q) は位数6の巡回群である。このガロア群の μ を μ3 に移す元を η とすると、これは生成元になっている。位数2の部分群 H = {1, η3} に興味がある。元 α = μ + η3(μ) を考える。作り方から α は H の作用で不変であり、

上の共役は
α = η0(α) = μ + μ6
β = η1(α) = μ3 + μ4
γ = η2(α) = μ2 + μ5
の3つである。
下記の恒等式
1 + μ + μ2 + ⋯ + μ6 = 0,
を使って、
α + β + γ = −1
αβ + βγ + γα = −2
αβγ = 1
となることがわかる。
したがって α は多項式
(x − α)(x − β)(x − γ) = x3 + x2 − 2x − 1,
の根であり、この多項式の

上のガロア群は Z/3Z である。

こういう話は、作図問題でも出てくる。桂のガロア理論p81を参照のこと。