ペケとジマのフーリエ･ラプラス解析 #7 ラプラス変換と公式
登場人物
ペケ
理系，学部2年．
メガネのレンズがプラスチック
ジマ
文系，ペケの先輩．
メガネのレンズがガラス
ジマ：さて，今回からラプラス変換に入っていくよぉー．
ペケ：待ってました．
ジマ：ラプラス変換を次で定義するよー．
$$
\begin{aligned}
\mathcal L[f](s)
:=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}\mathrm dt \ (\mathrm {Re}(s)>0)
\end{aligned}
$$
例によって適宜左辺を$${F(s)}$$と表記したりするよォー．
ペケ：フーリエの核の変数を複素数に拡張したんですね．$${f(t)}$$は何でもかんでも変換できるんですか？
ジマ：前と同じで．
$$
\begin{aligned}
\left|\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}\mathrm dt\right|
&\leq\int_0^{\infty}|f(t)e^{-st}|\mathrm dt\\
&(\because三角不等式)\\
&=\int_0^{\infty}|f(t)e^{-\big(\mathrm {Re}(s)+i\mathrm {Im}(s)\big)t}|\mathrm dt\\
&=\int_0^{\infty}|f(t)e^{-\mathrm {Re}(s)t}e^{-i\mathrm {Im}(s)t}|\mathrm dt\\
&=\int_0^{\infty}|f(t)|e^{-\mathrm {Re}(s)t}\mathrm dt\\
&<\infty\\
\end{aligned}
$$
となればいいから，$${C>0}$$として$${|f(t)|}$$を
$$
\begin{aligned}
\forall t>0,|f(t)|< Ce^{\mathrm {Re}(s)t}
\end{aligned}
$$
と抑えられればokだねェ―．
ペケ：てことは，例えば，$${|f(t)|}$$が$${2e^{-at}(a>0)}$$で抑えられるなら，$${F(s)}$$の定義域は$${\mathrm {Re}(s)>-a}$$になるんですね．
定義域が広がることもあるのね．
ジマ：そういうこと．では次を$${(3)}$$まで示してくんねぇ～？($${a\in\mathbb R}$$)
$$
\begin{aligned}
&\mathcal L[e^{\alpha t}](s)=\frac{1}{s-\alpha}\\
&\mathcal L[\cos(at)](s)=\frac{s}{s^2+a^2}\\
&\mathcal L[\sin(at)](s)=\frac{a}{s^2+a^2}\\
&\mathcal L[t^{a-1}](s)=\frac{\Gamma(a)}{s^a}
\end{aligned}
$$
ペケ：$${\mathrm {Re}(s-\alpha)>0}$$として，
$$
\begin{aligned}
\mathcal L[e^{\alpha t}](s)
&=\int_0^{\infty}e^{\alpha t}e^{-st}\mathrm dt\\
&=\int_0^{\infty}e^{-(s-\alpha)t}\mathrm dt\\
&=\left[-\frac{1}{s-\alpha}e^{-(s-\alpha)t}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{s-\alpha}\\
\\
\therefore \mathcal L[e^{\alpha t}](s)
=\frac{1}{s-\alpha}
\end{aligned}
$$
ラプラス変換は積分だから，当然線形性があるから，$${\alpha=ia}$$と置くとオイラーの公式より，
$$
\begin{aligned}
\mathcal L[e^{iat}](s)
&=\mathcal L[\cos(at)+i\sin(at)](s)\\
&=\mathcal L[\cos(at)](s)+i\mathcal L[\sin(at)](s)
\end{aligned}
$$
で，さっきの結果から，
$$
\begin{aligned}
\mathcal L[e^{ia t}](s)
&=\frac{1}{s-ia}\\
&=\frac{s+ia}{s^2+a^2}\\
&=\frac{s}{s^2+a^2}+i\frac{a}{s^2+a^2}
\end{aligned}
$$
だから，実部虚部を比較して，
$$
\begin{aligned}
\therefore
&\mathcal L[\cos(at)](s)=\frac{s}{s^2+a^2}\\
&\mathcal L[\sin(at)](s)=\frac{a}{s^2+a^2}\\
\end{aligned}
$$
ですね？
ジマ：テクいww高校でも似たようなの出てきたけど，高校ではオイラーの公式やんないから，積分を$${I}$$と置いて部分積分するめんどいやりかただったな．
ペケ：三角関数も指数関数の親戚だったということを思い出せば楽勝ですね．$${(4)}$$はどうやるんですか？
ジマ：$${s>0}$$として，
$$
\begin{aligned}
\mathcal L[t^{a-1}](s)
&=\int_0^{\infty}t^{a-1}e^{-st}\mathrm dt\\
&=\int_0^{\infty}\left(\frac{u}{s}\right)^{a-1}e^{-u}\frac{\mathrm du}{s}\ (u=st)\\
&=\frac{1}{s^a}\int_0^{\infty}u^{a-1}e^{-u}\mathrm du\\
&=\frac{1}{s^a}\Gamma(a)
\end{aligned}
$$
ペケ：はぇ～～．途中でガンマ関数の定義式が出てくるんですね．
ジマ：実際は$${\mathrm {Re}(s),\mathrm {Re}(a)>0}$$で成り立つんだけどな．こないだ複素解析教えたから何となく分かるよな？
ペケ：はい．
ジマ：ホントかぁー？ww
ま，この4つは覚えておいてくれ．
ペケ：わかりました．ところで，フーリエと同じで逆変換ってあるんですか？
ジマ：あるよォーwww
$$
\begin{aligned}
\mathcal L^{-1}[F](t)
:=\frac{1}{2\pi i}\int_{C-i\infty}^{C+i\infty}F(s)e^{st}\mathrm ds
\end{aligned}
$$
$${C}$$は$${F(s)}$$のすべての極や特異点より大きい正の実数だよー．
バカでかい正の実数だと思ってくれて構わないよォー．
ペケ：
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{2\pi i}\int_{C-i\infty}^{C+i\infty}F(s)e^{st}\mathrm ds\\
&=\frac{1}{2\pi i}\int_{C-i\infty}^{C+i\infty}\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}\mathrm d\tau e^{st}\mathrm ds\\
&=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{\infty}f(\tau)\int_{C-i\infty}^{C+i\infty}e^{-(\tau-t)s}\mathrm ds\mathrm d\tau\\
&=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{\infty}f(\tau)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(\tau-t)C}e^{-i(\tau-t)u}i\mathrm du\mathrm d\tau\\
&(s=C+iu)\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-(\tau-t)C}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(\tau-t)u}\mathrm du\mathrm d\tau\\
\end{aligned}
$$
で$${u}$$の積分のところが，こないだやったようにデルタ関数になるから，
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{2\pi i}\int_{C-i\infty}^{C+i\infty}F(s)e^{st}\mathrm ds\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-(\tau-t)C}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i(\tau-t)u}\mathrm du\mathrm d\tau\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-(\tau-t)C}2\pi\delta(\tau-t)\mathrm d\tau\\
&=\frac{1}{2\pi}2\pi f(t)e^{-0C}\\
&=f(t)
\end{aligned}
$$
という感じになるんすねぇ．
・・・毎回コレ計算するんスか？？
ジマ：だからさっきの公式を覚えろって言ったんだYoー．Soー．
逆変換も積分だから当然，線形性があって，それを利用して逆変換したい関数をさっきの式の線形結合に直して求めるんだよね．
いちいち計算してたらキリがないからねー．
ペケ：フーリエと違って覚えゲーなんですね．
#7のまとめ
ラプラス変換の定義と暗記すべき具体例．
$$
\begin{aligned}
&\mathcal L[e^{\alpha t}](s)=\frac{1}{s-\alpha}\\
&\mathcal L[\cos(at)](s)=\frac{s}{s^2+a^2}\\
&\mathcal L[\sin(at)](s)=\frac{a}{s^2+a^2}\\
&\mathcal L[t^{a-1}](s)=\frac{\Gamma(a)}{s^a}
\end{aligned}
$$変換後の関数の定義域は変換前の関数をどう抑えられるかによって決まる．
ラプラス逆変換は計算が大変煩雑なため，逆変換したい対象を具体例で導出した式の線形結合に直して求める．
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