ペケとジマのフーリエ･ラプラス解析 #3 デルタ関数
登場人物
ペケ (聞き手)
理系，学部2年．
メガネが四角い
ジマ(話し手)
文系，ペケの先輩．
メガネが丸い
ジマ：唐突だが，フーリエ，ラプラスで出てくる魔法のような道具を紹介するよォー．
$$
\begin{aligned}
\delta(x)
=\lim_{h\rightarrow+0}
\begin{equation*}
\left\{ \,
\begin{aligned}
& \frac1h \ \ (0 \leq x \leq h)\\
& 0 \ \ (\mathrm{otherwise})\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\end{aligned}
$$
これを使って
$$
\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx
$$
を計算してみろ．
ペケ：はい．
$$
\begin{aligned}
f_n(x)
=
\begin{equation*}
\left\{ \,
\begin{aligned}
& n \ \ \left(0 \leq x \leq \frac1n\right)\\
& 0 \ \ (\mathrm{otherwise})\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\end{aligned}
$$
は一様収束するから(?)，積分と極限の順序が交換出来て，
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx
&=\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_{0}^{1/n}f(x)\mathrm dx\\
&=\lim_{h\rightarrow+0}\frac1h\int_{0}^{h}f(x)\mathrm dx\\
\end{aligned}
$$
$${f(x)}$$の原始関数を$${F(x)}$$と書くと，
$$
\begin{aligned}
\lim_{h\rightarrow+0}\frac1h\int_{0}^{h}f(x)\mathrm dx
&=\lim_{h\rightarrow+0}\frac1h[F(x)]_0^h\\
&=\lim_{h\rightarrow+0}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}
\end{aligned}
$$
でこれ$${F(x)}$$の$${x=0}$$における微分の定義式そのものだから，
$$
\begin{aligned}
\therefore\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx
&=F'(0)=f(0)
\end{aligned}
$$
$${f(0)}$$が出てきました．
ジマ：そぉー．じゃ次おんなじ事$${\delta(x-a)}$$でやってみろ．
ペケ：はい．
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^\infty\delta(x-a)f(x)\mathrm dx
&=\int_{-\infty}^\infty\delta(t)f(t+a)\mathrm dt \ (t=x-aと置換)\\
&=f(0+a) \ (\because さっきの結果)\\
&=f(a)
\end{aligned}
$$
ですかね．
ジマ：Soー．なんか気づくことない？
ペケ：$${f(x)}$$と$${\delta(x-a)}$$を$${x=a}$$が含まれるような区間で積分すれば$${f(a)}$$になるってこと？
ジマ：それもそうなんだけどさァー．#1でやったクロネッカーのデルタに似てねー？積の和をとればある値を取り出せるという点で．
$$
\begin{aligned}
和:&\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta_{mn}f_{m}=f_n\\
積分(≒和の極限):&\int_{-\infty}^\infty\delta(x-n)f(x)\mathrm dx=f(n)
\end{aligned}
$$
ペケ：あー確かに．だからこれも$${\delta}$$なんですね．
ジマ：これをデルタ関数というよぉー．厳密には関数ではないんだけれども，工学部のガバ数学の範疇ではこのように計算して差し支えないよォー．
ペケ：なるほど．
ジマ：次のような性質もあるよー．
$$
\begin{aligned}
&\int_{-\infty}^\infty\delta'(x)f(x)\mathrm dx
=\int_{-\infty}^\infty\Bigl(-\delta(x)f'(x)\Bigr)\mathrm dx\\
&\int_{-\infty}^\infty\delta^{(n)}(x)f(x)\mathrm dx
=\int_{-\infty}^\infty\Bigl((-1)^n\delta(x)f^{(n)}(x)\Bigr)\mathrm dx
\end{aligned}
$$
$$
\delta^{(n)}(x)=(-1)^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}
$$
的なイメージ．
ペケ：$${D_k=\int_{-\infty}^\infty\delta^{(n-k)}(x)f^{(k)}(x)\mathrm dx}$$として，部分積分
$$
\begin{aligned}
D_k
&=\left[\delta^{(n-k-1)}(x)f^{(k)}(x)\right]_{-\infty}^\infty
-\int_{-\infty}^\infty\delta^{(n-k-1)}(x)f^{(k+1)}(x)\mathrm dx\\
&=0-\int_{-\infty}^\infty\delta^{(n-k-1)}(x)f^{(k+1)}(x)\mathrm dx\\
& \ \ \ \ (\because\delta^{(n-k)}(x(\neq 0))=0より,
\delta^{(n-k)}(\pm \infty)=0)\\
&=-D_{k+1}
\end{aligned}
$$
という漸化式から$${D_0=(-1)^nD_n}$$となることから分かりますね．
ジマ：Soー．デルタ関数は次のような定義もあるね．
$$
\delta(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin(nx)}{\pi x}
$$
こういう風に，成り立ちそうだな．
$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^\infty\delta(x)f(x)\mathrm dx
&=\int_{-\infty}^\infty\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin(nx)}{\pi x}f(x)\mathrm dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-0}^{+0}\frac{\sin(nx)}{\pi x}f(0)\mathrm dx\\
&+\int_{+0}^\infty\lim_{n\rightarrow\infty}\sin(nx)\frac{f(x)+f(-x)}{\pi x}\mathrm dx\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-0}^{+0}\frac{\sin(nx)}{\pi x}f(0)\mathrm dx+\int_{+0}^\infty0 \ \mathrm dx\\
& \ \ \ \ (\becauseリーマン･ルベーグの補題)\\
&=f(0)\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-0n}^{+0n}\frac{\sin(x)}{\pi x}\mathrm dx\\
&=f(0)\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(x)}{\pi x}\mathrm dx\\
&=f(0)\frac{1}{\pi}\pi\\
& \ \ \ \ (\because ディリクレ積分)\\
&=f(0)
\end{aligned}
$$
ペケ：ホントにー？いくら何でもガバすぎやしませんかね？
ジマ：デルタ関数扱うときはこのくらいの適当加減でいいよー．
#3のまとめ
デルタ関数は正確には関数じゃないガバ概念だけど，フーリエ，ラプラスで魔法のような道具として使える．
デルタ関数とその定義と定義式．
クロネッカーのデルタのように，積の和をとったら，デルタ関数の添え字と同じ値のものが取り出せる．
いくつかの式で定義できる．(今回は四角形と三角関数．)
デルタ関数の微分は「-1×微分演算子」ともみなせる．
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