ペケとジマの複素解析 #2

 

登場人物

ペケ  (聞き手)
理系，学部2年．
ガリ．

ペケ

ジマ (話し手)
文系，ペケの先輩．
デブ．

ジマ

 

 

ペケ：ジマさん．コーシー・リーマンの方程式がよくわかりません．なんで「複素関数がある点で正則ならその点でコーシー・リーマンの方程式が成り立つ」ことが同値なんですかね？

 

ジマ：n～～．平行じゃない2方向から微分した値が一致していたら正則って言えるね．一番ラクな$${\partial/\partial x}$$と$${\partial/\partial(iy)}$$で$${f(z)}$$を偏微分してもらえる？

 

ペケ：

$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x}
=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial (iv)}{\partial x}
=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}
$$

$$
\frac{\partial f(x)}{\partial (iy)}
=\frac{\partial u}{\partial (iy)}+\frac{\partial (iv)}{\partial (iy)}
=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}
$$

で，$${\partial f(z)/\partial x＝\partial f(z)/\partial(iy)}$$だから，

$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0,\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0\\
\\
&\therefore
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
\end{aligned}
$$

で，逆にコレが成り立つとき，

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f(x)}{\partial x}
&=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\
&=\frac{\partial v}{\partial y}+i\left(-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\\
&=-i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}\\
&=\frac{\partial f(x)}{\partial (iy)}
\end{aligned}
$$

で$${\partial f(z)/\partial x＝\partial f(z)/\partial(iy)}$$がなりたつという感じですか．

 

ジマ：Soー．
次に，複素積分の話だ．$${C:z_0からz_n}$$という積分路に沿った積分をつぎとするよォー．

$$
\int_C f(z)\mathrm dz:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nf(z_k)(z_k-z_{k-1})
$$

 

ペケ：実積分と一緒で，差分の和の極限なんですね．$${z_k}$$が実数のとき普段の積分と一致しないといけないからそりゃそうか．

 

ジマ：時にペケくん．$${-C:z_nからz_0}$$という積分路に沿った積分はどうなると思う？

 

ペケ：えーと，

$$
\begin{aligned}
\int_{-C} f(z)\mathrm dz
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nf(z_{k-1})(z_{k-1}-z_k)\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nf(z_{k})(z_{k-1}-z_k)+\sum_{k=1}^n\left(f(z_{k-1})-f(z_{k})\right)(z_{k-1}-z_k)\\
&=-\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nf(z_{k})(z_k-z_{k-1})+0\\
&=-\int_C f(z)\mathrm dz
\end{aligned}
$$

ガバいけど，何となく実積分のときと同じく，区間を逆にたどればマイナスになることがわかりました．
というか気づいたんですが，これ差分の和だから，和の結果が頭とケツしか残らないから途中の経路関係ないんじゃ…

 

ジマ：やるやん．$${f(z)}$$が正則な範囲でならそうなんだよ．

 

ペケ：正則じゃなければ話変わってくるんすね．今度教えてください．

 

ジマ：おうよ．じゃ最後に$${\Gamma:z_0からz_0に戻ってくるような輪}$$で積分してみろ．

 

ペケ：途中で$${z_n}$$に寄ってから$${z_0}$$に戻るという風に解釈すると，

$$
\begin{aligned}
\oint_{\Gamma} f(z)\mathrm dz
&=\int_{C} f(z)\mathrm dz+\int_{-C} f(z)\mathrm dz\\
&=\int_{C} f(z)\mathrm dz-\int_{C} f(z)\mathrm dz\\
&=0
\end{aligned}
$$

やっぱり，頭とケツが一緒だから打ち消しあってゼロになった．

 

ジマ：ペケくぅん．証明は美しいけど，君は大きな勘違いをしているようだね．複素関数においては，正則じゃないとき，同じ$${z_0}$$でも辿ってきた経路によって$${f(z_0)\neq f(z_0)}$$となるんだよォー．まぁそれは長くなるから今度だな．ちなみにこの結果「$${f(z)}$$正則なら$${\Gamma}$$での積分がゼロになる」ということを，コーシーの定理という．

 

ペケ：へー．そうなんですね．

#2のまとめ

1. コーシー・リーマンの方程式

2. コーシーの定理

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