ペケとジマのフーリエ･ラプラス解析 #8 ラプラス変換の性質と畳み込み
登場人物
ペケ
理系，学部2年．
苗字が無い．名前が罰．
ジマ
文系，ペケの先輩．
苗字が島．名前が無い．
ジマ：ペケくゥん．前回紹介しきれなかった性質がいくつかあるから，今日はそれをやってもらうよぉー．
$$
\begin{aligned}
&\mathcal L[f(t-a)u(t-a)](s)
=e^{-as}\mathcal L[f](s) \ (a\in\mathbb R_{>0})\\
&\mathcal L[f(at)](\omega)
=\frac{1}{a}\mathcal L[f]\left(\frac{s}{a}\right) \ (a\in\mathbb R_{>0})\\
&\mathcal L[t^nf(t)](s)
=\left(-\frac{\mathrm d}{\mathrm ds}\right)^n\mathcal L[f](s) \ (n\in\mathbb Z_{>0})\\
\end{aligned}
$$
証明はフーリエと同じだからわざわざやんなくていいよー．
ペケ：フーリエのときは
$$
\begin{aligned}
&\mathcal F[f(t-a)](\omega)=e^{-ia\omega}\mathcal F[f](\omega) \ (a\in\mathbb R)\\
&\mathcal F[f(at)](\omega)=\frac{1}{|a|}\mathcal F[f]\left(\frac{\omega}{a}\right) \ (a\in\mathbb R\backslash\{0\})\\
&\mathcal F[t^nf(t)](\omega)=\left(i\frac{\mathrm d}{\mathrm d\omega}\right)^n\mathcal F[f](\omega) \ (n\in\mathbb Z_{>0})\\
\end{aligned}
$$
こうだったから，かなり似ていますね．
この$${u(t)}$$ってのはなんですか？
ジマ：ヘビサイドの階段関数だよぉー．
$$
\begin{aligned}
u(t)
=
\begin{equation*}
\left\{ \,
\begin{aligned}
& 1 \ \ (t\geq0)\\
& 0 \ \ (t<0)\\
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\mathcal L[f(t-a)u(t-a)](s)\\
&=\int_0^\infty f(t-a)u(t-a)e^{-st}\mathrm dt\\
&=\int_0^\infty f(t-a)u(t-a)e^{-st}\mathrm dt\\
&=\int_{-a}^\infty f(v)u(v)e^{-s(v+a)}\mathrm dv \ (v=t-a)\\
&=e^{-as}\int_{0}^\infty f(v)1e^{-sv}\mathrm dv\\
&=e^{-as}\mathcal L[f](s)\\
\end{aligned}
$$
という具合に，フーリエと積分区間が違うから，この関数を使ってケツの辻褄合わせをしなきゃいけないんだ．
ペケ：へぇー．この流れだと，もしやラプラスにも畳み込みが？
ジマ：あるよォーww．ラプラス変換における畳み込みを次のように定義するよー．
$$
\begin{aligned}
(f*g)(t):=\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau
\end{aligned}
$$
フーリエと同様に次の性質があるよぉー．
$$
\begin{aligned}
&f*g=g*f\\
&(f*g)*h=f*(g*h)\\
&\mathcal L[(f*g)](s)=\mathcal L[f](s)\cdot\mathcal L[g](s)
\end{aligned}
$$
ペケ：フーリエのときと定義が違って，積分区間が$${[0,t]}$$なのね．
ラプラスでも，畳み込みのラプラス変換がラプラス変換の積になるんですね．
$$
\begin{aligned}
&\mathcal L[(f*g)](s)\\
&=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau e^{-st}\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{\infty}f(\tau) e^{-s\tau}\int_{\tau}^{\infty}g(t-\tau)e^{-s(t-\tau)}\mathrm dt\mathrm d\tau\\
&=\int_{0}^{\infty}f(\tau) e^{-s\tau}\int_{0}^{\infty}g(u)e^{-su}\mathrm du\mathrm d\tau\\
&=\int_{0}^{\infty}f(\tau) e^{-s\tau}\mathrm d\tau\int_{0}^{\infty}g(u)e^{-su}\mathrm du\\
&=\mathcal L[f](s)\mathcal L[g](s)
\end{aligned}
$$
ラプラスの畳み込みは，この性質の辻褄合わせのためにこういう定義なんですね．
ジマ：Soー．
次に，初期値定理と最終値定理の話をするよォー．
$$
\begin{aligned}
&初期値定理: &&最終値定理:\\
&\lim_{t\rightarrow+0}f(t)=\lim_{s\rightarrow\infty}s\mathcal L\left[f\right](s) &&\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow+0}s\mathcal L\left[f\right](s)
\end{aligned}
$$
これまたアマクダリティが高いから，証明見せるよ．
$$
\begin{aligned}
\mathcal L\left[f'\right](s)
&=\int_{0}^{\infty}f'(\tau)e^{-st}\mathrm dt\\
&=\Big[f(t)e^{-st}\Big]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}f(\tau)(-s)e^{-st}\mathrm dt\\
&=-f(0)+s\int_{0}^{\infty}f(\tau)e^{-st}\mathrm dt\\
&=s\mathcal L\left[f\right](s)-f(0)\\
\\
\therefore s\mathcal L\left[f\right](s)=\mathcal L\left[f'\right](s)+f(0)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\therefore
&\lim_{s\rightarrow\infty}s\mathcal L\left[f\right](s)
=\cancel{\lim_{s\rightarrow\infty}\mathcal L\left[f'\right](s)}+f(0)
=f(0)\
\\
&\lim_{s\rightarrow+0}s\mathcal L\left[f\right](s)
=\mathcal L\left[f'\right](0)+f(0)
=\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)\cancel{-f(0)}+\cancel{f(0)}\\
\end{aligned}
$$
…分かった？
ペケ：はい．
ジマ：Soー．さて，では恒例行事のディリクレ積分を示そうのコーナーだよォーwww
$$
\begin{aligned}
&\mathcal L\left[\frac{\sin(t)}{t}\right](0)\\
\end{aligned}
$$
を求めればいいねー．ヒントは
$$
\begin{aligned}
&\mathcal L\left[t^{-1}\cdot\sin(t)\right](s)\\
\end{aligned}
$$
と見ることだよぉー．
ペケ：さっきやった公式では$${n>0}$$だったしなぁ…$${-1}$$階微分を積分と考えるか．そしたら，
$$
\begin{aligned}
\int_{\infty}^s f(t)e^{-\sigma t}\mathrm d\sigma
&=\left[-\frac{1}{t}f(t)e^{-\sigma t}\right]_{\infty}^s\\
&=-t^{-1}f(t)e^{-st}
\end{aligned}
$$
ということを考えると，
$$
\begin{aligned}
\mathcal L\left[t^{-1}\cdot f(t)\right](s)
&=\int_{0}^{\infty}t^{-1}f(t)e^{-s t}\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{\infty}\int_{s}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}\mathrm d\sigma\mathrm dt\\
&=\int_{s}^{\infty}\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}\mathrm dt\mathrm d\sigma\\
&=\int_{s}^{\infty}\mathcal L\left[f(t)\right](\sigma)\mathrm d\sigma\\
\end{aligned}
$$
だから，
$$
\begin{aligned}
\mathcal L\left[\frac{\sin(t)}{t}\right](0)
&=\int_{0}^{\infty}\mathcal L\left[f(t)\right](\sigma)\mathrm d\sigma\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sigma^2+1}\mathrm d\sigma\\
&=\Big[\arctan(\sigma)\Big]_{0}^{\infty}\\
&=\frac\pi 2
\end{aligned}
$$
ですね．
ジマ：そぉー．マイナス階微分を積分と捉えると，そうなるな．
じゃ最後，前回同様にカーネルスワッピングだ．
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty}\mathcal L\left[f\right](t)g(t)\mathrm dt
=\int_{0}^{\infty}f(t)\mathcal L\left[g\right](t)\mathrm dt
\end{aligned}
$$
ペケ：これもしや前回同様，ディリクレ積分計算できる流れですか…
$${f=1,g=\sin}$$として，$${\mathcal L[1](t)=1/t,\mathcal L[\sin](t)=1/(t^2+1)}$$だから，
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(t)}{t}\mathrm dt
&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t}\sin(t)\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{\infty}\mathcal L\left[1\right](t)\sin(t)\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{\infty}1\mathcal L\left[\sin\right](t)\mathrm dt\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^2+1}\mathrm dt\\
&=\Big[\arctan(t)\Big]_{0}^{\infty}\\
&=\frac\pi 2
\end{aligned}
$$
ですね．へー．同じラプラスでもディリクレ積分のいろんな解き方があるんすね．
ジマ：Soー．
#8のまとめ
ラプラス変換の諸性質
ラプラス変換の畳み込み
初期値定理と最終値定理
カーネルスワッピング
フーリエ変換は複雑な積分を計算できる道具としても利用できる