立方体に内接する八面体の話を各生成AIに描かせてみたメモ
はじまり
小６の長男が、中学受験の算数の問題で、以下に類するような算数の問題を解いていた。
「一辺が１の立方体 ABCD-EFGHに対し、A・C・F・Hを結んでできる三角錐と、B・D・E・Gを結んでできる三角錐との共通部分の体積を求めよ」
結果は、以下の図のようになる
解答に図が無かったので、Perplexityで探したところ、上記のページが見つかった。カッコいい言い方をすると
「立方体の正八面体は立方体に内接する２つのケプラー四面体の積集合」
らしい。
とはいえ、ぐりぐりいじれる図が欲しくて、生成AIに作らせたができず。
でもこれまたPerplexityで以下に行き当たった。ありがたい。これを息子といじりながら見た。
現時点の実力：４つの生成AIに聞いてみた。
それまでに、ChatGPT、Gemini、Copilot、Claude3に以下のプロンプトを書いてチャレンジしたのを、現時点の生成AIの実力の備忘録として記録しておく。１年後はずいぶんと違うんだろうなぁ。
一辺が１の立方体 ABCD-EFGHに対し、A・C・F・Hを結んでできる三角錐と、
B・D・E・Gを結んでできる三角錐との共通部分を図示するとともに、その体積を求めよ結論から言えば、残念ながら、ちゃんと図を書いてくれる生成AIは現れなかった。Geminiがとても惜しかった。結局、Perplexityに質問を変えたら、先ほどのGeoGebraに導いてくれた。感謝。
ChatGPT4oの場合
以下リンク先に示すの通り、行列演算を始めた。
体積は1/6と正解
ベクトルから体積だす方法なんてやったっけ？と思うが、以下を見る限り正しそうだ。（勉強になった）
https://math-topology.hatenablog.com/entry/vectorvolume
ただ、残念ながら図は書いてくれず、DALL-Eも以下のあり様でした。
Geminiの場合
結論を言えば、このGeminiが一番いい感じで答えを出した。さすが理系？
https://g.co/gemini/share/0d5bd8c55365
なぜか「中心部に穴の開いた」という枕詞は入っていますが、以下のように正八面体と分かっているようです。
共通部分の体積の計算
正八面体の体積の求め方:
正八面体を2つの正四角錐に分割: 正八面体は、対角線を軸に2つの合同な正四角錐に分割できます。
正四角錐の体積の計算: 正四角錐の体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められます。
正八面体の体積の計算: 求めた正四角錐の体積の2倍が、正八面体の体積となります。
計算:
正四角錐の底面積: 正四角錐の底面は、一辺が立方体の対角線の半分である√2/2の正方形です。よって、底面積は(√2/2)² = 1/2となります。
正四角錐の高さ: 正四角錐の高さは、立方体の1辺の長さの半分である1/2です。
正四角錐の体積: (1/2)×(1/2)÷3 = 1/12
正八面体の体積: 1/12 × 2 = 1/6
答え:
したがって、2つの三角錐の共通部分の体積は、1/6 です。
（編注）お見事！
期待のClaudeは不発
Vector形式でいい感じで図を描いてくれることを期待したのだが、不発↓
正八面体であることは分かっているが、公式が謎？
計算手順：
まず、この正八面体の中心は立方体の中心と一致します。
正八面体の頂点は、立方体の各面の中心にあります。
立方体の一辺が1なので、正八面体の頂点から中心までの距離は1/2です。
正八面体の体積の公式は：V = (a^3) / (3√2) ここで、aは正八面体の稜の長さです。
正八面体の稜の長さを求めるために、ピタゴラスの定理を使います： a^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2 = 1/2
したがって、a = 1/√2
これを体積の公式に代入します： V = ((1/√2)^3) / (3√2) = (1/(2√2)) / (3√2) = 1 / (6√4) = 1 / (6 * 2) = 1/12
したがって、2つの三角錐の共通部分である正八面体の体積は 1/12 立方単位となります。
Copilotは出だし良かったが、答え違い
アスキーアートで意図通りの頂点で立方体を書いてきたのは好感触でしたが、あとは一番残念な感じ。
この問題は立体幾何の問題ですね。まず、立方体 ABCD-EFGH を描いてみましょう。
A-----B
|\ |\
| E-----F
| | | |
C-|---D |
\| \|
G-----H
次に、点 A, C, F, H を結んでできる三角錐と、点 B, D, E, G を結んでできる三角錐を考えます。
三角錐 ACFH
頂点: A, C, F, H
三角錐 BDEG
頂点: B, D, E, G
これらの三角錐の共通部分を考えると、立方体の中心を通る平面で分割される部分が共通部分になります。
共通部分の体積を求めるためには、立方体の体積を 8 等分することを考えます。
立方体の体積は 1 立方単位なので、共通部分の体積はその 1/8 になります。
このようにして、共通部分の体積は ( \frac{1}{8} ) 立方単位となります。
図示する場合は、立方体の中心を通る平面で分割された部分を描くと良いでしょう。 残念。体積1/8になっていました。これは計算ではなく、ありそうな立方体の話ですね。
（オマケ）Perplexityは、体積1/3
Perplexityには荷が重いかと思い、以下のプロンプトにした。
立方体に内接する正八面体を描いて描き方の文章はあっていたが（省略）、聞いてもないのに体積を計算して間違えた。けど、その後、いくつか質問して、冒頭の「ぐりぐりいじれる図」に行きついてくれたので感謝している
正八面体の特徴
正八面体の体積は立方体の体積の1/3になります。
正八面体のエッジの長さは、立方体のエッジの長さの√2/2倍になります。
この構造を視覚化すると、正八面体が立方体の内部にぴったりと収まり、その頂点が立方体の各辺の中点に触れている様子が分かります。この配置により、正八面体は立方体の空間を最大限に活用しつつ、完全に内接した状態を保っています。
（Perplexityの回答全文は以下）
https://www.perplexity.ai/search/li-fang-ti-ninei-jie-suruzheng-KkHZJvaORgaQgbj.7QX8nA
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