群準同型じゃない

※タイトルは適当になんとなくつけました🙇

問
$${p}$$を2以上の整数とし、$${\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}}$$、$${\mathbb{Z}}$$をそれぞれ加法で定義された群とする。この時、$${\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}}$$から$${\mathbb{Z}}$$への単射準同型は存在しないことを示せ。

証明
背理法で示す。
つまり、単射な群準同型$${\varphi :\mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$$が存在すると仮定する。
ここで群準同型の性質から、$${\varphi (0)=0}$$が成立し、$${\varphi}$$の単射性から$${\varphi (1) \neq 0}$$。

一方、$${\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}}$$の定義から、$${1+1+1+1+1=0}$$が成立するので、
$${\varphi (1+1+1+1+1)=5\varphi (1) =\varphi (0) =0}$$となり、$${\varphi (1)=0}$$を得る。（矛盾）

以上から、$${\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}}$$から$${\mathbb{Z}}$$への単射準同型は存在しない。（証明終わり）

Remark
以上の議論から特に$${\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}}$$と$${\mathbb{Z}}$$は同型でないことがわかる（単射準同型が存在するかどうかを考えなくても、そもそも濃度が全然違うことから明らかにわかりますが）。