群論入門part1 群の定義

※part1を投稿したからと言ってpart2が投稿される保証はありません
※論理式や∀、∃に慣れていない方のために、これらの記号を極力使わないように心がけますが、一方で書き方がスマートにならなくなることをご了承ください

1.1.群の定義

定義1
集合Gにおいて演算G×G→G：(g,h)↦g・hが定義され、次の３条件を満たすとき、Gを群と呼ぶ。
（１）演算・は結合法則を満たす
（２）すべての元ｇ∈Ｇに対してｇ・ｅ＝ｅ・ｇ＝ｇとなる元ｅ∈Ｇが存在
（３）各元ｇ∈Ｇに対しｇ・g'＝g'・ｇ＝ｅとなる元 g'∈Ｇが存在
ここで（２）のｅ∈ＧをＧの (演算・についての) 単位元、（３）のg'∈Ｇをｇ∈Ｇの (Ｇ上の演算・についての) 逆元とよぶ。

※演算の定義および結合法則に関しては群論入門part0を参照のこと

Rem
任意の群Ｇの単位元の個数はただ１つのみである。
また、任意の群Ｇ上の任意の元ｇ∈Ｇの逆元の個数もただ１つである。

1.2.身近な群の例

例１（足し算についての群）
実数全体の集合ℝは足し算＋に関して群をなす。
ここで単位元は０、a∈ℝの逆元は－a。
（この群を特に加群と呼ぶことがある）

例２（掛け算についての群）
実数全体から０を除いた集合ℝ’は、掛け算×について群をなす。
ここで単位元は１、a∈ℝ’の逆元はａ⁻¹＝１/ａ。

例３（１点集合の群）
１点集合｛e｝は、演算｛e｝×｛e｝→｛e｝：(e, e) ↦ eについて群となる。
もう少し砕いていうと、演算×をｅ×ｅ＝ｅと定めると｛e｝はこの演算について群となる。単位元はもちろんｅである。

例４（２点集合の群の構成）
２点集合｛e, f｝が、ｅを単位元とする群となるような演算・を構成する。
まずｅは単位元なので e・e＝e、e・f ＝ f・e＝ f 。
次に f・f の値を考えると、群の定義（３）から｛e, f｝には f の逆元が存在しなければならないが、e・f = f ≠ e のためｅは不適である。よってｆの逆元はｆでなければならないので、 f・f＝ｅ。

問1.1.
3点集合｛e, f ,g｝がeを単位元とする群となるような演算を構成せよ。

以上

追記：part2を投稿しました。群の中で重要な例、対称群についてです。