5分で分かるジャイロ効果
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こんにちは、とうめいです。
今回は「ジャイロ効果」について説明するという記事です。
ジャイロ効果について簡単に説明しますと、
「回転している物体に対してある方向の力を加えると、その力と直角に交わる方向に物体の回転軸が傾く」
というものです。
すみません。まったく簡単ではありませんね。
ジャイロ効果に関しては、でんじろう先生などの動画をご覧くださればわかるかと思います。
すなわち、この記事は「ジャイロ効果は知ってるけど具体的な原理の成り立ちを理解したい人」をメインのターゲットとしています。
まあ、そうでない方も一度読んでみてください。そしていいねをください。
緒言～最初に～(読み飛ばしてOK)
筆者は大学編入試験の勉強をしている際にジャイロ効果について学ぶ時期があったのですが、インターネットの上位にあがってくる解説記事はほとんどがその原理の概形をつかむための資料というように感じました。(リサーチ不足の可能性あり)
確かに慣性の法則などからジャイロ効果の原理を簡単につかむことはできます。ですが、筆者は数学の道具や物理法則を用いてさらに詳細にジャイロ効果を説明することはできるのだろうか？ もしできるとしたらそれはどのようになるのか？ というモチベーションでジャイロ効果について考えてみました。そちらを今回の記事で説明していきます。
そして最初に言わせていただきます。
筆者の拙い論理とその展開に不備があった場合はXなどでいつでもお知らせしてください。だいたいいつでも対応できると思います。
先にいくつか、今回の記事で使う道具の名前を挙げておきたいと思います。
「ベクトル」「ベクトルの合成」「角運動量」
証明
最初に、fig. 1のようなモデルを考えます。青色のコマみたいな物体(剛体)は角速度ωの回転方向、つまり細い矢印方向に回転しています。
そして、橙色の太い矢印が角速度ベクトルω(太字)を表しています。あとの初期条件は図の通りです。
次に、ある微小な時間Δtの間にFという外力を物体の頂点にかけてみましょう。方向はfig. 2におけるy座標の正方向です。
さらに、ここで外力Fが作用している点の位置ベクトルrを考えます。
もしコマ形物体(以下、『物体』と呼ぶ)が静止しているのであれば、物体は力の方向に倒れていくでしょう。
しかし、物体が回転しているときは、それとは異なる挙動が起きるのです。それがジャイロ効果です。
さて、ここで外力ベクトルと位置ベクトルから導き出される角運動量ベクトルについて考えてみましょう。
Δtの間に生み出される角運動量ベクトルをΔLとしたとき、それをFとrによって表現すると、fig. 3のようになります。
ここで1つ、ΔLに関する式の補足をします。
まず、角運動量の定義より、fig. 3の右下にある1段目の式のように表すことができます。
その次に、これがΔtの間に起こっている現象ということと運動量の定義から、以下のような関係が考えられます。
(1)式をさらに変形することで、以下の式が得られます。
そして、(2)式において、Δtは任意の定数であることからΔpがFの定数倍として近似的に扱えることがわかります。
このようにしてΔpをfig. 3のように変形しました。
また、ΔLの方向はx座標の負方向です。
さて、最初に述べたように、物体は回転しています。したがって、剛体の角運動量の定義より、物体は初期状態から(3)式のような角運動量ベクトルを有していると言えるでしょう。
そして、LとΔLの関係を座標とベクトルで表すことで、fig. 4のようになります。
さらに、それらの角運動量ベクトルを合成してできた角運動量ベクトルL'を考えると、物体の回転軸はL'に一致するように傾きます。
つまり、z軸を中心として反時計方向に回転している物体に対してy座標の正方向に力を加えたとき、物体の回転軸はx座標の負方向に傾くという結果が得られました。
まとめ～結言～
さて、今回はジャイロ効果を新たな(個人的には?)観点から説明していきました。角運動量ベクトルの合成という初等的な道具によってジャイロ効果の一例を証明する過程で、新たな発見や理解があったのではないでしょうか。
最後に、今回の説明のポイントをまとめましょう。
1.物体の回転軸と物体の角運動量ベクトルは一致する
今回の説明をつかむためにはこの前提が必要でした。
詳しくは下記のサイトをご覧ください。
2.「ベクトルの合成」を用いる
角運動量ベクトルの合成をすることで、変位後の物体の回転軸が変位後の物体の角運動量ベクトル(の向き？)に一致することがわかるよというお話でした。
いかがでしたか？
出典さえ明記してくれればこの説明はどこでも使ってよいです。
不明な点や怪しい点、すでにこの考え方が主流である等の申し立てがある方は、筆者のプロフィールに記載しているXアカウントにいつでもお知らせください。よろしくお願いいたします。
ここまで書くのはとても疲れたので寝ます。起きるまでにいいねをしておいてください。そして気が向いた石油王は投げ銭をしてください。
それでは皆さん、いい夜を。