No.001ガウスの法則

2025年1月4日 01:15

はじめに

ガウスの法則は図形的に対称性のある系で扱うことのできるマクスウェル方程式一員です。
系によってとらなくてはいけない閉曲面が違ってきて勉強していて大変だと思います。しかし、
なぜそのような閉曲面をとるのかを式変形のしやすさと言う視点から見ていくとすぐに理解できると思います。ここではテストで急に聞かれたらまずい「〜の法則の物理的意味を述べよ」をテーマに自分なりにまとめてみたいと思います。

物理的意味

ガウスの法則の物理的意味は
「電荷または電荷密度がある空間に与えられたときそれに比例した電場が湧き出す」である。

微分形

∇:微分演算子(ナブラ)
E:電場
ρ:電荷密度
ε0≈8.85x10^12：真空の誘電率

積分形

右辺のQは電荷密度pを体積分したもので左辺にガウスの発散定理を適用すれば微分形が導ける。
n：閉曲面S上の各点における単位法線ベクトル

ガウスの発散定理

ベクトル解析で学ぶ

ベクトルの発散

ベクトル場A(r)の発散(divergence)
引用
https://manabitimes.jp/physics/1962

divAとも表す。
解釈
発散とは単位体積あたりのベクトルの湧き出し(吸い込み)である。

微分演算子(ナブラ)

ハミルトンの演算子とも呼ばれるこの式はデカルト座標でのナブラでありi,j,kはそれぞれxyz方向の単位ベクトル（基本べクトル）である
数学のベクトル解析で学ぶ
∂/∂x:xに関する偏微分
∂/∂y:yに関する偏微分
∂/∂z:zに関する偏微分

終わりに

ガウスの法則は電磁気学を学び始めて最初に出会う難関ポイントだと思います。でも図形的なイメージを持ちながら勉強すれば難なくマスターできるはずです。ここでは自分用にその物理的意味を文章化して必要な知識を簡単にまとめました。