「イデアル類群 素イデアル」／note.com/unramified/ の記事 ／ 解答してみた
１.
”maximal unramified extension” さんの文章。Noteの記事から。
イデアル類群｜maximal unramified extension (note.com)
簡単だが、小洒落れた問題を考えてみた。
（途中省略）
代数体Kの整数環R_Kの０でない素イデアルは、０でない自然数を含むことを示せ。
§
（証明）
素イデアルを$${\mathfrak p }$$と表す。
まず確認事項
・ R_K/$${\mathfrak p }$$ は有限体
さて、
有理整数環 Z が部分集合なので包含写像 Z → R_K が定義できる。
さらに
Z/$${\mathfrak p }$$∩Z → R_K/$${\mathfrak p }$$
これは有限体 R_K/$${\mathfrak p }$$ への写像で単射（で環準同型。付記 2024 5 29）。
仮に、素イデアルは０でない自然数を含まないとする。
$${\mathfrak p }$$∩Z ＝{0}
となり、
Z → R_K/$${\mathfrak p }$$
単射（で環準同型。付記 2024 5 29）。
これは、R_K/$${\mathfrak p }$$ は有限体であることと矛盾。
よって０でない素イデアルは０でない自然数を含む。（証明終わり）
§
別証明
素イデアル $${\mathfrak p }$$ の、０ではない要素 a を取る。
要素a は整数環R_Kの要素であるから要素a の代数的共役を a_1(=a), a_2, ・・・, a_n とする。要素a の最小多項式（有理整数の係数をもつ）の解である。
a のノルム Ｎ(a) = ”a_1, a_2, ・・・, a_n の積” 、とする。ただし、a_1=a。
Ｎ(a)はゼロではない有理整数。（これは認める）
"a_2, ・・・, a_n の積" は各々a_iが代数的整数なので、積が代数的整数である。（代数的整数の全体は複素数環の部分環をなすので。）
1/a とN(a) の積 (1/a)N(a) は代数体Kの要素。
ノルムＮ(a)の式より変形して
(1/a)N(a) ＝ "a_2, ・・・, a_n の積"
よって、"a_2, ・・・, a_n の積" は整数環R_Kの要素。
要素aは 素イデアル $${\mathfrak p }$$ の要素なので
Ｎ(a) = "a_1, a_2, ・・・, a_n の積"
を考えあわせると、整数Ｎ(a)は$${\mathfrak p }$$ の要素 で非零。
よって素イデアル$${\mathfrak p }$$ は、０でない自然数を含む。
（証明終わり）
[Katex練習]
ドイツ文字(フラクトゥール) $${Fraktur}$$
-- - 文章 配置めちゃくちゃ（自分）
$${\mathfrak p }$$ フラクトゥール"p" ０でない素イデアル
$${\mathfrak p }$$ フラクトゥール"p"
--
$${Fraktur}$$ ドイツ文字(フラクトゥール)
#unramified
#フラクトゥール ドイツ文字
#代数体 Kの整数環R_Kの０でない素イデアル
#整数環
#素イデアル
#整数論
#大学数学
#Katex
#イデアル
#代数 抽象代数
#代数学
#