【行間を読む】猪木・川合「量子力学II」p. 338 (T積と指数関数の積)

キーワード

• T積

• 指数関数

• Taylor級数

該当箇所

$$
\begin{array}{rcl}\ket{\psi(t)}_\mathrm{I}&=&\exp\left(\dfrac{∆t}{i\hbar}\hat{V}_\mathrm{I}(t_{N-1})\right)\exp\left(\dfrac{∆t}{i\hbar}\hat{V}_\mathrm{I}(t_{N-2})\right)\cdot\\&&\cdot\cdots\cdot\exp\left(\dfrac{∆t}{i\hbar}\hat{V}_\mathrm{I}(t_{0})\right)\ket{\psi(t_0)}_\mathrm{I}\\&=&T\exp\left(\dfrac{∆t}{i\hbar}\left(\hat{V}_\mathrm{I}(t_{N-1})+\hat{V}_\mathrm{I}(t_{N-2})+\cdots\hat{V}_\mathrm{I}(t_{0})\right)\right)\ket{\psi(t_0)}_\mathrm{I}\\&=&T\exp\left(\dfrac{1}{i\hbar}\displaystyle\int_{t_0}^tdt'\hat{V}_\mathrm{I}(t')\right)\ket{\psi(t_0)}_\mathrm{I}\end{array}
$$

疑問点

T積が現れる第2の等号。

解説

簡単のため次の式を考える。

$$
T\exp[\hat{O}(t_1)+\cdots+\hat{O}(t_N)].
$$

Taylor級数にして項を展開すると

$$
=T\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}(\hat{O}(t_1)+\cdots+\hat{O}(t_N))^n\\=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}\sum_{k_1+\cdots+k_N=n}\frac{n!}{k_1!\cdots k_N!}\hat{O}(t_1)^{k_1}\cdots\hat{O}(t_N)^{k_N}\\=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k_1+\cdots+k_N=n}\frac{1}{k_1!\cdots k_N!}\hat{O}(t_1)^{k_1}\cdots\hat{O}(t_N)^{k_N}
$$

となる。ただしT積は展開後に演算子を入れ替えることを意味する。一方で

$$
\exp(\hat{O}(t_1))\exp(\hat{O}(t_2))\cdots\exp(\hat{O}(t_N))\\=\sum_{k_1=0}^\infty\dfrac{1}{k_1!}\hat{O}(t_1)^{k_1}\sum_{k_2=0}^\infty\dfrac{1}{k_2!}\hat{O}(t_2)^{k_2}\cdots\sum_{k_N=0}^\infty\dfrac{1}{k_N!}\hat{O}(t_N)^{k_N}\\=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k_1+\cdots+k_N=n}\dfrac{1}{k_1!}\dfrac{1}{k_2!}\cdots\dfrac{1}{k_N!}\hat{O}(t_1)^{k_1}\cdots\hat{O}(t_N)^{k_N}
$$

で一致する。