【行間を読む】猪木・川合「量子力学II」p. 297 (波動関数ケットにかかる時間全微分と偏微分)

キーワード

• 全微分

• 偏微分

• ケットベクトル

• 座標表示

• 位置演算子

該当箇所

ゲージ不変性を調べるために、Schrödinger方程式

$$
\begin{array}{lr}i\hbar\dfrac{d}{dt}\ket{\psi(t)}=\hat{H}\ket{\psi(t)}\\\hat{H}=\dfrac{1}{2m}\left(\hat{\bm{p}}-\dfrac{e}{c}\bm{A}(\hat{\bm{x}},t)\right)^2+e\phi(\hat{\bm{x}},t)&(8.11)\end{array}
$$

を考え、波動関数に対して次のような時間に依存したユニタリー変換を考えよう。

$$
\begin{array}{}\begin{array}{}\ket{\psi(t)}=\hat{U}(t)\ket{\psi'(t)}\\\hat{U}(t)=\exp\left[i\dfrac{e}{\hbar c}\lambda(\hat{\bm{x}},t)\right]\end{array}&(8.12)\end{array}
$$

$${\ket{\psi'(t)}}$$の時間発展を求めるためには、(8.12)を(8.11)に代入してやれば良い。すなわち、

$$
\begin{array}{lr}i\hbar\dfrac{d}{dt}\left(\hat{U}(t)\ket{\psi'(t)}\right)\\=\hat{U}(t)\left(i\hbar\dfrac{d}{dt}\ket{\psi'(t)}+\left(\hat{U}^{-1}(t)i\hbar\dfrac{d}{dt}\hat{U}(t)\right)\ket{\psi'(t)}\right)\\=\hat{U}(t)\left(i\hbar\dfrac{d}{dt}\ket{\psi'(t)}-\dfrac{e}{c}\dfrac{∂}{∂t}\lambda(\hat{\bm{x}},t)\ket{\psi'(t)}\right)&(8.13)\end{array}
$$

と、…

疑問点

全微分$${\dfrac{d}{dt}}$$と偏微分$${\dfrac{∂}{∂t}}$$をなぜ同等に扱っているのか。

解説

先に以下を参照すると良い。

$${\hat{U}(t)}$$で位置は演算子の状態であり、$${\ket{\psi'(t)}}$$では位置依存性を考えないので、具体的な値$${\bm{x}}$$が現れるわけではない。もし完全性条件を使って$${\ket{\psi'(t)}}$$を展開するにしても、

$$
\begin{array}{rcl}\hat{U}(t)\ket{\psi'(t)}&=&\displaystyle\int d^3x\:\exp\left[\dfrac{ie}{\hbar c}\lambda(\hat{\bm{x}},t)\right]\ket{\bm{x}}\bra{\bm{x}}\ket{\psi'(t)}\\&=&\displaystyle\int d^3x\:\exp\left[\dfrac{ie}{\hbar c}\lambda(\bm{x},t)\right]\ket{\bm{x}}\psi'(\bm{x},t)\end{array}
$$

であり、$${x}$$は積分のダミー変数で積分外へは現れない。したがって$${\hat{U}\ket{\psi}}$$は$${\bm{x}}$$依存性を考慮していない。

なお(8.13)最終行の偏微分は$${\lambda}$$を2変数関数と見做していることの表れである。

補足

特に(8.13)最終行で偏微分が現れる時の微分の使い方は、微積分の交換

$$
\dfrac{d}{dt}\int dx=\int dx\dfrac{∂}{∂t}
$$

に近い。