【行間を読む】猪木・川合「量子力学I」p. 208 (生成・消滅演算子の交換関係における微分的振る舞い)

キーワード

• 交換子

• 生成・消滅演算子

該当箇所

また、

$$
[\hat{a}_i,(\hat{a}_i^\dag)^{n_i}]=n_i(\hat{a}_i^\dag)^{n_i-1}
$$

は簡単に示せるから、…

解説

帰納法で示す。$${n_i=1}$$では$${[\hat{a}_i,\hat{a}_i^\dag]=1}$$で真。$${[\hat{a}_i,(\hat{a}_i^\dag)^{n_i}]=n_i(\hat{a}_i^\dag)^{n_i-1}}$$が成り立つとき、

$$
\begin{array}{l}[\hat{a}_i,(\hat{a}_i^\dag)^{n_i+1}]\\=\hat{a}_i^\dag[\hat{a}_i,(\hat{a}_i^\dag)^{n_i}]+[\hat{a}_i,\hat{a}_i^\dag](\hat{a}_i^\dag)^{n_i}\\=\hat{a}_i^\dag n(\hat{a}_i^\dag)^{n_i-1}+(\hat{a}_i^\dag)^{n_i}\\=(n+1)(\hat{a}_i^\dag)^{n_i}\end{array}
$$

で、$${n+1}$$でも成り立つ。