【行間を読む】中原幹夫「理論物理学のための幾何学とトポロジー第2版」p. 282 (Penroseのグラフ記法による共形変換でのRiemannテンソルの変換の導出 )

2023年9月25日 08:44

Penroseのグラフ記法について初見の場合はこちらから。

キーワード

共形変換 (Weyl変換)
Riemannテンソル
Penroseのグラフ記法

該当部分

$$
\begin{array}{rcl}\bar{R}(X,Y)Z&=&\cdots\\&=&\nabla_X\{\nabla_YZ+K(Y,Z)\}+K(X,\nabla_YZ+K(Y,Z))\\&&-\nabla_Y\{\nabla_XZ+K(X,Z)\}-K(Y,\nabla_XZ+K(X,Z))\\&&-\{\nabla_{[X,Y]}Z+K([X,Y],Z)\}\end{array}
$$

である。直接的だが少々退屈な計算の後

$$
\begin{array}{rcl}\bar{R}(X,Y)Z&=&R(X,Y)Z+\braket{\nabla_Xd\sigma, Z}Y-\braket{\nabla_Yd\sigma, Z}X\\&&-g(Y,Z)\nabla_XU+Y[\sigma]Z[\sigma]X\\&&-g(Y,Z)U[\sigma]X+X[\sigma]g(Y,Z)U\\&&+g(X,Z)\nabla_YU-X[\sigma]Z[\sigma]Y\\&&+g(X,Z)U[\sigma]Y-Y[\sigma]g(X,Z)U\end{array}
$$

が求まる。

解説

命題7.1より$${K(X,Y)=X[\sigma]Y+Y[\sigma]X-g(X,Y)U}$$である。$${U=g^{\mu\nu}∂_\mu\sigma e_\nu}$$なので

と描くことができ、

波太線は対称化操作を表す。すなわち右辺初項はg(U,X)Y+g(U,Y)X.
真っ直ぐな太線が反対称操作を表すことに対応。

である。(7.107)は

$$
\begin{array}{rcl}\bar{R}(X,Y)Z&=&R(X,Y)Z\\&=&\nabla_XK(Y,Z)+K(X,\nabla_YZ)+K(X,K(Y,Z))\\&&+(X\leftrightarrow Y)\\&&-K([X,Y],Z)\qquad\qquad(*)\end{array}
$$

書ける。右辺第2項は