中原幹夫「理論物理学のための幾何学とトポロジー 第2版」 p. 279 (問7.14解答: Poincaré計量のホロノミー群)
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キーワード
Poincaré計量
ホロノミー群
Levi-Civita接続
問題
Poincaré計量 $${(U=\{(x,y)|y>0\}, g=1/y^2dx\otimes dx+1/y^2dy\otimes dy)}$$のLevi-Civita接続におけるホロノミー群がSO(2)であることを示せ。
解答
接続係数はChristoffel記号を計算して
$$
\Gamma^x_{\mu\nu}=\left(\begin{matrix}&-1/y\\-1/y&\end{matrix}\right), \qquad\Gamma^y_{\mu\nu}=\left(\begin{matrix}1/y&\\&-1/y\end{matrix}\right)
$$
とわかる。
$${V=V^xe_x+V^ye_y}$$を$${x=x_0=const.}$$に沿って$${y}$$方向に平行移動させるとき、
$$
\nabla_yV=0\qquad\therefore\begin{cases}∂_yV^x-V^x/y=0\\∂_yV^y-V^y/y=0\end{cases}
$$
で、一般解は$${V(x_0,y)=yV(x_0,1)}$$である。
一方$${y=y_0=const.}$$に沿って$${x}$$方向に平行移動するとき、
$$
\nabla_xV=0\qquad\therefore\begin{cases}∂_xV^x-V^y/y=0\\∂_xV^y+V^x/y=0\end{cases}
$$
で、一般解は
$$
V(x,y_0)=\left(\begin{matrix}\cos\frac{x-x_0}{y_0}&-\sin\frac{x-x_0}{y_0}\\\sin\frac{x-x_0}{y_0}&\cos\frac{x-x_0}{y_0}\end{matrix}\right)V(x_0.y_0)\equiv R\left(\frac{x-x_0}{y_0}\right)V(x_0,y_0)
$$
である。$${R}$$は回転行列。
図のような経路をとると、
$$
V(x_0,y_0)=V_0\to R\left(\frac{x-x_0}{y}\right)V_0\to\frac{y}{y_0}R\left(\frac{x-x_0}{y}\right)V_0\to R\left(-\frac{x-x_0}{y}\right)\frac{y}{y_0}R\left(\frac{x-x_0}{y}\right)V_0\to R\left((x-x_0)\left(\frac{1}{y_0}-\frac{1}{y}\right)\right)V_0
$$
と変換し、$${x,y}$$を自由に取ることでSO(2)がホロノミー群$${H(p)}$$の部分群であることがわかる。
一方この多様体は向きづけ可能であり、Levi-Civita接続は計量と両立するので$${H(p)}$$はSO(2)の部分群。
以上、 $${H(p)=\mathrm{SO}(2)}$$.