【行間を読む】川上則雄・梁成吉「共形場理論と1次元量子系」p.15 (Ward恒等式の導出)

キーワード

• Ward恒等式

• 相関関数

該当箇所

(2.2.1)で導入した$${N}$$点相関関数

$$
\langle A_1(\bm{r}_1)\cdots A_N(\bm{r}_N)\rangle\equiv\langle X\rangle
$$

の無限小変換 $${r_\mu\to r_\mu+\epsilon_\mu(\bm{r})}$$のもとでの変化分は

$$
\sum_{i=1}^N
\langle A_1(\bm{r}_1)\cdots \delta_\epsilon A_i(\bm{r}_i)\cdots A_N(\bm{r}_N)\rangle
+\int\frac{d^2y}{2π}∂_\mu\epsilon_\nu(\bm{y})
\langle T_{\mu\nu}(\bm{y})X\rangle=0
$$

で与えられる。

解説

期待値をEuclid化した汎函数積分を使った書き方に直して

$$
\begin{array}{rl}\delta\langle X\rangle&=\int\mathcal{D}A_1\cdots\mathcal{D}A_N\left[A_1(\bm{r}_1+\bm{\epsilon}(\bm{r}_1))\cdots A_N(\bm{r}_N+\bm{\epsilon}(\bm{r}_N))e^{-(S+\delta S)[A]}-A_1(\bm{r}_1)\cdots A_N(\bm{r}_N)e^{-S[A]}\right]\\&=\int\mathcal{D}A_1\cdots\mathcal{D}A_N\left(\sum_{i=1}^NA_1(\bm{r}_1)\cdots\delta_\epsilon A_i(\bm{r}_i)\cdots A_N(\bm{r}_N)e^{-S[A]}-A_1(\bm{r}_1)\cdots A_N(\bm{r}_N)\delta S[A]e^{-S[A]}\right)+\mathcal{O}(\epsilon^2).\end{array}
$$

これに(2.2.4)の結果を用いることで得られる。