水星の軌道と万有引力の法則の不一致の問題について
水星の軌道と万有引力の法則の不一致の問題は、アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論が提案されるまでの間、科学界に大きな謎とされていました。この問題は、「水星の近日点の歳差運動」と呼ばれ、水星の軌道が予想されるよりも太陽の周りでゆっくりと回転していることを指します。
概要
水星の軌道特性:
水星の軌道は楕円形であり、他の惑星と比べてもその離心率が高いです。これにより、その軌道の形状は太陽に非常に近づく点（近日点）と遠ざかる点（遠日点）の間で顕著な差があります。
近日点の歳差運動:
軌道の近日点が少しずつ移動する現象を歳差運動と言います。水星の場合、この歳差運動はニュートンの万有引力の法則だけでは完全には説明できませんでした。観測によれば、水星の近日点は1世紀に約5600秒角を移動しており、そのうちの約43秒角が説明されていない部分でした。
一般相対性理論との関係
アインシュタインの理論:
1915年にアインシュタインが提唱した一般相対性理論は、重力を時空の歪みとして捉えます。この理論によると、太陽の質量が周囲の時空を歪ませ、その歪みが水星の軌道に影響を及ぼします。
問題の解決:
アインシュタインの方程式を用いると、水星の近日点の移動は説明され、残っていた43秒角のズレも完全に一致することが判明しました。これにより、一般相対性理論の正しさが裏付けられ、科学界に大きな影響を与えました。
結論
水星の近日点の歳差運動の問題は、ニュートン力学だけでは説明できない現象であり、一般相対性理論の有効性を示す重要な証拠となりました。この発見は物理学におけるパラダイムシフトを引き起こし、宇宙論の理解を深めるきっかけとなりました。
水星の近日点の歳差運動における43秒角のズレを一般相対性理論を使って計算する方法
水星の近日点の歳差運動における43秒角のズレを一般相対性理論を使って計算する方法は、アインシュタインの重力場方程式を使って水星の軌道を解析することに基づいています。この計算は、非常に専門的な知識を要するため、ここでは基本的なアプローチを説明します。
計算の基本的なステップ
シュワルツシルト計量の使用:
一般相対性理論において、質量を持つ物体が周囲の時空に与える影響はシュワルツシルト解によって記述されます。シュワルツシルト計量は球対称な非回転質量の周りの時空の幾何学を記述します。
軌道方程式の導出:
シュワルツシルト計量を基にして、惑星の軌道に関する運動方程式を導出します。具体的には、測地線方程式を解くことで、惑星の時空を通る経路（軌道）を求めます。
歳差運動の計算:
水星の軌道が楕円形であることを考慮し、その近点が各軌道でどのように移動するかを計算します。この歳差運動は、軌道が完全な楕円ではなく、プリセッション（歳差運動）を伴うため、それを定量的に算出します。
数値解析:
実際の計算は、アインシュタインの場の方程式を近似的に解くために高度な数値解析技術が必要です。特に、水星のような小さいが高速で移動する物体の場合、細かな効果まで精密に計算する必要があります。
具体的な計算式
水星の近日点の歳差運動の具体的な計算式は以下のように表されます：
Δ𝜙=6𝜋𝐺𝑀/𝑐^2𝑎(1−𝑒^2)
ここで、
Δ𝜙は一周あたりの近日点の歳差運動の角度です（ラジアン単位）。
𝐺 は万有引力定数です。
𝑀 は太陽の質量です。
𝑐 は光速です。
𝑎 は水星の軌道の半長軸です。
𝑒 は軌道の離心率です。
この式は、水星の軌道が受ける一般相対性理論的な効果を表しており、観測される43秒角のズレを正確に説明することができます。この計算によって、一般相対性理論が実際の天体の動きに対して正確であることが証明されました。