【物理数学】ガウス積分の公式まとめ

この記事では物理で出てくるようなガウス積分の公式をまとめていきます。

1

$$
\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2} dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}
$$

基本のガウス積分の公式です。

２

$$
\displaystyle\int_{0}^\infty xe^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{1}{2\alpha}
$$

この積分はすぐに直接原始関数を求めて計算できますが、載せておきます。

３

$$
I_n(\alpha) = \displaystyle\int_{0}^\infty x^n e^{-\alpha x^2} dx
$$

とすると

$$
I_{n+2} = -\dfrac{d}{d\alpha} I_n(\alpha)
$$

となります。微分すると、$${x^2}$$が降りてくることから分かります。これよりn次のガウス積分が帰納的に求まります。