【MHRise】会心100%達人芸によって切れ味ゲージが持続する期待値計算(高校数学?)

気になったので計算した結果と過程のメモ書き

前提

・達人芸の発動確率: r
・切れ味の長さ: a
・達人芸が発動すると切れ味を消費せずに斬れる

結論

持続する切れ味の期待値 = a ÷ (1-r)

例) 達人芸Lv3(r=0.8), 切れ味の長さ20(a=20)
切れ味の期待値 = 20 ÷ (1-0.8) = 100

要は達人芸Lv3付けて会心100%で斬り続ければ通常の5倍切れ味が持つ。達人芸Lv1だと通常の1.25倍。

証明

（高校数学）
切れ味1消費するまでに切れる回数の期待値Exを計算する

・1回目で消費 = 1回も達人芸が発動しない = $${1-r}$$
・2回目で消費 = 1回発動して2回目で発動しない = $${(1-r)r}$$
・3回目で消費 = 2回発動して3回目で発動しない = $${(1-r)r^2}$$
・n回目で消費 = n-1回発動してn回目で発動しない = $${(1-r)r^{n-1}}$$

つまりn回目で切れ味1消費するまでに切れる回数の期待値Ex(n)は、

$${Ex(n) = (1-r) + 2(1-r)r + 3(1-r)r^2 + ... + n(1-r)r^{n-1}}$$
$${rEx(n) = \qquad \quad (1-r)r + 2(1-r)r^2 + ... + (n-1)(1-r)r^{n-1} + n(1-r)r^n}$$

$${Ex(n) - rE(n) = (1-r) + (1-r)r + (1-r)r^2 + ... + (1-r)r^{n-1} - n(1-r)r^n}$$
$${⇔ Ex(n) = 1 + r + r^2 + ... + r^{n-1} - nr^n}$$
$${⇔ Ex(n) = \sum_{k=0}^{n-1}r^k - nr^n}$$
$${⇔ Ex(n) = \frac{1-r^n}{1-r} - nr^n}$$

期待値計算するためにnを無限に飛ばす。

$${Ex = \ \lim_{n \to \infty} Ex(n)}$$
$${\qquad = \lim_{n \to \infty}\big(\frac{1-r^n}{1-r} - nr^n)}$$
$${\qquad= \frac{1}{1-r}}$$ (∵ r < 1)

よって切れ味aを消費するまでの期待値は

$${aEx = \frac{a}{1-r}}$$

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