ネパール国旗の縦横比
始めに
どうも！たんたどです。初めましての方は初めまして。この記事ではネパールの有名な矩形でない国旗の比率(縦横比)を求めております。そして自己紹介、この国旗の描き方、求めるにあたっての角度の記事は以下です。
留意点を中心にお読みください。
描き方の解説です。
角度を導出しております。
留意点
・名前が出てくる国はネパールのみです。
・方冪の定理が出てまいります。高校の数学で習いますが、思い出したい方はリンクよりどうぞ。
・FOTWの画像による描き方に倣い、GeoGebraから導出したものとなります。
・数値は導出できましたが、数式ではそれができておりません。
このくらいでしょうか。では、参ります。
本題
上記の記事でも述べている通り、ヘッダーに示したネパール国旗の2つの三角形は合同でも相似でもありません。横に突き出した角度が上の三角形のほうが鋭角となるために、横の長さはこの三角形の底辺から求められます。
上の図の一番下で書かれている通り、国旗の青の縁取りはTNの長さとなっております。この長さはMNからMTを引いたものとなりますが、MNは求められてもMTは私にはどうやってもダメでした。ダメだった理由を以下に示します。
このようにMTを求めるにはMR間の角度などが必要であり、私はここでつまづきました。1人では解決が困難に思えましたので、オンライン数学デーの方々に協力を依頼することに致しました。
依頼したところ、キグロ氏がGeoGebraを使って描いてくださり、定規とコンパスだけで描けるということも証明してくださいました。作図に必要な線を消さずに作図すると、以下のようになります。
留意点でも述べている通り、TN間を示す数式は求められていませんが、数値は縁無しの三角形の底辺を10とした上記の図の場合、約0.4303896185282となりました。T、NはX軸の座標は同じですので、Y軸の数値を引き算すればTN間が出ます。数値の証明を以下に示します。
それでは、縦方向の頂点から求めたいと思います。角度は最初に挙げた記事でも導出している通り、約57.9441089094°です。証明する画像を以下に示します。
そして、方べきの定理です。以下に示す細い白線は円の直径で等しいので、下に見える小さい赤の三角形の頂点から青の三角形の頂点に伸ばした線は、国旗最上部の角度の二等分線となります。
正弦定理を用いると、以下のようになります。
sin28.9720544547°とsin61.0279455453°は以下になりますので…
赤の三角形の頂点と青の三角形の頂点との差は次のようになります。
次は、横方向の頂点です。基本的には同じ式を使います。
これで、比率を求める数値が揃いました。縦、横を以下に示します。
さらに、縦/横をすれば比率が求められます。
また、それぞれの頂点の座標の数値は以下です。
値が出ている分だけ引き算して、y/xした値は1.219010337830015でした。
ここで、Wikipediaの該当するページの比率を引用します。
桁が多いので写りきっておりませんが、計算結果は以下で、同ページの数値、そして導出した数値と一致することがわかります。
よって、ネパール国旗の縦横の比率はおよそ1.2190:1となることが求められました。縦が横より長いのはこの国のみです。
終わりに
さて、如何だったでしょうか。1:(1＋√5)/2で有名なトーゴの国旗よりもずっと複雑ということがわかっていただけたと思います。個人的にはWikipediaにあるような数式で比率を出したかったのですが、現段階では私がこれが精一杯ということをご理解いただければと存じます。それでは、別の記事でお会いしましょう👋
SPECIAL THANKS、ツールと参考ウェブサイト
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キグロ＠カクヨム（@kiguro_masanao）さん / X
「数学デー」公式（@sugaku_day）さん / X
オンライン数学デーの方々
🔧ツール🔧
1.角度から三角関数(sin・cos・tan)の値を求めるツール - PEKO STEP
2.ネパール国旗 - GeoGebra
3.Cent Browser
💻️参考ウェブサイト💻️
1.【高校数学A】「方べきの定理1【基本】」(練習編) | 映像授業のTry IT (トライイット)
2.定規とコンパスによる作旗｜数学デー公式｜pixivFANBOX
3.Wikipedia
4.A230582 - OEIS(オンライン整数列大辞典)