プレゼント交換が成功する確率

$${n}$$人$${(P_1,P_2,\cdots,P_n),\,n\geq2}$$で$${n}$$個のプレゼント$${(p_1,p_2,\cdots,p_n)}$$の交換を行うとき成功する確率、すなわち自分のプレゼントが自分以外の人に贈られる確率($${P_i\,(i=1,2,\cdots,n)}$$が受け取るプレゼントが$${p_j\,(j\neq i)}$$となる確率)はどうなるでしょうか？

$${n}$$個のプレゼント$${(p_1,p_2,\cdots,p_n)}$$を$${n}$$人に分ける方法は$${n!}$$通りあります。確率の分母はこの値になります。では分子はどうでしょうか？$${n}$$個のプレゼント交換が成功する場合の数を$${a_n}$$とおくと、漸化式

$$
a_n=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2}),\,a_2=1,\,a_3=2
$$

が成り立ちます。この漸化式は解くことができて、

$$
a_n=n!\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}
$$

となります。(これを$${!n}$$と書くこともあるそうです。)したがって、プレゼント交換が成功する確率は、

$$
\frac{a_n}{n!}=\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}
$$

となります。ところで、この確率の極限値は何になるでしょうか。式の形が指数関数のテイラー展開に似ていることから、$${k}$$のとる値を少し調節して

$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}=e^{-1}=\frac{1}{e}
$$

となります。実はこの値、当たりが出る確率が$${\dfrac{1}{n}}$$のくじを$${n}$$回引いたときに当たりが出ない確率の極限値と一致します。面白いですね。