複素数平面上の一次変換

問題

$${w=\dfrac{z-1}{z+1}\,(z\in\mathbb{C})}$$について、以下の問に答えよ。

(1) $${z=x+iy\,(x,y\in\mathbb{R})}$$とおくとき、$${w=u(x,y)+iv(x,y)}$$をみたす実関数$${u(x,y),v(x,y)}$$を求めよ。

(2) $${z}$$が以下の条件をみたしながら動くとき、$${w}$$の軌跡を複素数平面上に図示せよ。
(a) $${\text{Re}\,(z)=0}$$
(b) $${\text{Re}\,(z)=1}$$
(c) $${\text{Re}\,(z)\geq0\,\,\land\,\,\text{Im}(z)=0}$$

解答

(1)

代入して計算します。

$$
w=\frac{z-1}{z+1}=\frac{x+iy-1}{x+iy+1}=\frac{(x-1+iy)(x+1-iy)}{(x+1)^2+y^2}=\frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}+i\frac{2y}{(x+1)^2+y^2}
$$

よって、

$$
\begin{align*}
u(x,y)&=\frac{x^2+y^2-1}{(x+1)^2+y^2}\\
v(x,y)&=\frac{2y}{(x+1)^2+y^2}
\end{align*}
$$

(2)(a)

(1)で、$${u(x,y),v(x,y)}$$を求めましたが、複素数のまま($${z,w}$$のまま)で式変形していきます。

与えられているのは$${z}$$に関する条件なので、$${w=\dfrac{z-1}{z+1}}$$を$${z}$$について解きます。

$$
z=\frac{1+w}{1-w}\,\,\,(w\neq 1)
$$

$${w=1}$$とすると、$${z-1=z+1}$$から$${-1=1}$$が導かれて矛盾が生じてしまうので除きます。$${\text{Re}\,(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}=0}$$だから、これに代入すると

$$
\frac{1+w}{1-w}+\overline{\left(\frac{1+w}{1-w}\right)}=0
$$

となって、この式を整理することで

$$
|w|=1\,\,(w\neq 1)
$$

したがって、$${w}$$の軌跡は、中心が原点で半径が1の円である。ただし、点$${1}$$は除く。

(2)(b)

(a)と同様の計算を行います。$${\text{Re}\,(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}=1}$$だから、

$$
\frac{1+w}{1-w}+\overline{\left(\frac{1+w}{1-w}\right)}=2
$$

式を整理すると

$$
\left|w-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}\,\,(w\neq1)
$$

したがって、$${w}$$の軌跡は、中心が点$${\dfrac{1}{2}}$$で半径が$${\dfrac{1}{2}}$$の円である。ただし、点$${1}$$は除く。

(2)(c)

まず、$${\text{Re}\,(z)=\dfrac{z+\overline{z}}{2}\geq0}$$から

$$
|w|\leq 1\,\,(w\neq1)
$$

が導かれます。さらに、$${\text{Im}\,(z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}=0}$$であるから

$$
\frac{1+w}{1-w}-\overline{\left(\frac{1+w}{1-w}\right)}=0
$$

から、$${w-\overline{w}=0}$$が導かれるので

$$
\text{Im}\,(w)=0
$$

となります。

これらを合わせると、$${w}$$の軌跡は、中心が原点で半径が1の円の内部かつ、虚部が$${0}$$、すなわち実軸の$${-1}$$から$${1}$$までの部分。ただし、点$${1}$$は除く。