覚えない！ベクトル解析の公式シリーズ【実践編②】

微分演算について

$${x_1x_2x_3}$$座標(直交座標)で考えることにします。$${\nabla}$$を定義します。

$$
\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}\right)=(\partial_1,\partial_2,\partial_3)
$$

次に、各種微分演算(勾配・発散・回転)を、縮約記法を用いて表したものです。ベクトルについては、第$${\lambda}$$成分について示しています。

• $${[\text{grad}\, \phi]_\lambda=[\nabla \phi]_\lambda=\partial_\lambda\phi}$$

• $${\text{div}\, a=\nabla\cdot a=\delta_{\mu\nu}\partial_\mu a_\nu=\partial_\mu a_\mu}$$

• $${[\text{rot}\,a]_\lambda=[\nabla\times a]_\lambda=\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu a_\nu}$$

free indexとdummy indexを意識すると良いと思います。
最後に、注意事項を書いておきます。

• $${\partial}$$は微分演算子だから，基本的には可換ではないので注意！ただし，$${\partial_\mu\partial_\nu}$$を$${\partial_\nu\partial_\mu}$$に交換するとかは全然やります（微分の順序交換はします）．

• $${\partial_\lambda a_\mu b_\nu}$$を$${a_\mu\partial_\lambda b_\nu}$$にするとかはアウト！そういうときは，積の微分と解釈して$${b_\nu\partial_\lambda a_\mu+a_\mu\partial_\lambda b_\nu}$$とする．$${\partial_\lambda a_\mu b_\nu}$$を$${\partial_\lambda b_\nu a_\mu}$$にするのはOK

• $${(\nabla\cdot a)b}$$と$${(a\cdot \nabla)b}$$は全く異なる！

これで、微分を含む公式を取り扱う準備ができました。今回は3つの公式を示してみます。

スカラ積の勾配

$$
\begin{align*}
[\nabla(\phi\psi)]_\lambda=&\partial_\lambda(\phi\psi)\\
=&\psi(\partial_\lambda\phi)+\phi(\partial_\lambda \psi)\\
=&[\psi(\nabla\phi)+\phi(\nabla\psi)]_\lambda
\end{align*}
$$

したがって、

$$
\begin{align*}
\nabla(\phi\psi)&=\psi(\nabla\phi)+\phi(\nabla\psi)\\
\text{grad}\,(\phi\psi)&=\psi\text{grad}\,\phi+\phi\text{grad}\,\psi
\end{align*}
$$

積の微分でOK．
一応補足として、こういう公式もあります。証明はぜひ各自でやってみてください。

$$
\begin{align*}
\nabla\cdot(\phi\nabla\psi)&=\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\phi\nabla^2\psi\\

\nabla(\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi)&=\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi
\end{align*}
$$

ベクトルのスカラ倍の発散

$$
\begin{align*}
\nabla\cdot(\phi a)=&\partial_\lambda(\phi a)_\lambda\\
=&\partial_\lambda(\phi a_\lambda)\\
=&(\partial_\lambda\phi)a_\lambda+\phi(\partial_\lambda a_\lambda)\\
=&(\nabla \phi)_\lambda a_\lambda+\phi(\nabla\cdot a)\\
=&(\nabla\phi)\cdot a+\phi(\nabla\cdot a)\\
\end{align*}
$$

したがって、

$$
\begin{align*}
\nabla\cdot(\phi a)&=(\nabla\phi)\cdot a+\phi(\nabla\cdot a)\\
\text{div}\,(\phi a)&=(\text{grad}\, \phi)\cdot a+\phi\text{div}\, a
\end{align*}
$$

ベクトルのスカラ倍の発散

$$
\begin{align*}

[\nabla\times(\phi a)]_\lambda=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu(\phi a)_\nu\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu(\phi a_\nu)\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}(a_\nu\partial_\mu\phi+\phi\partial_\mu a_\nu)\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}(\nabla\phi)_\mu a_\nu+\phi\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu a_\nu\\

=&[(\nabla\phi)\times a]_\lambda+\phi[\nabla\times a]_\lambda\\

=&[(\nabla\phi)\times a+\phi(\nabla\times a)]_\lambda

\end{align*}

$$

したがって、

$$
\begin{align*}
\nabla\times(\phi a)&=(\nabla\phi)\times a+\phi(\nabla\times a)\\
\text{rot}\,(\phi a)&=(\text{grad}\,\phi)\times a+\phi\text{rot}\, a
\end{align*}
$$

クロネッカーのデルタやエディントンのエプシロンに加えて、積の微分公式も利用しながら、固まりをどんどん展開していって、最後に添え字を調節しながらまとめていく流れになります。これは、今後も同じですので、慣れるとかなり楽になってきます。次回取り扱う公式は、ベクトル解析の公式の中でもかなり有名なものばかりです。イプシロンの積の展開公式も利用する場面があるので、お楽しみに。