覚えない！ベクトル解析の公式シリーズ【実践編①】

証明する公式

準備編で導入した考え方を用いて、実際にベクトル解析の公式を証明していきます。取り扱う公式は以下のとおりです。

• $${a\cdot(b\times c)}$$（スカラ3重積）

• $${a\times(b\times c)}$$（ベクトル3重積）

• $${\nabla(\phi\psi),\,\,\text{grad}\,{\phi\psi}}$$ (スカラ積の勾配)

• $${\nabla\cdot(\phi a),\,\,\text{div}\,{\phi a}}$$ (ベクトルのスカラ倍の発散)

• $${\nabla\times(\phi a),\,\,\text{rot}\,{\phi a}}$$ (ベクトルのスカラ倍の回転)

• $${\nabla\times(\nabla\phi),\,\,\text{rot}\,\text{grad}\,\phi}$$（勾配の回転）

• $${\nabla\cdot(\nabla\times a),\,\,\text{div}\,\text{rot}\,a}$$（回転の発散）

• $${\nabla\times(\nabla\times a),\,\,\text{rot}\,\text{rot}\,a}$$（回転の回転）

• $${\nabla(a\cdot b),\,\,\text{grad}\,(a\cdot b)}$$（内積の勾配）

• $${\nabla\cdot(a\times b),\,\,\text{div}\,(a\times b)}$$（外積の発散）

• $${\nabla\times(a\times b),\,\,\text{rot}\,(a\times b)}$$（外積の回転）

• $${(a\times b)\cdot(c\times d)}$$（スカラ4重積）

• $${(a\times b)\times (c\times d)}$$（ベクトル4重積)

公式を見るだけで嫌な気持ちになりますよね

今回は2つやろうと思います。
あと、前回の準備編で書き忘れていましたが、基本的にベクトルは太字にしていません (いちいち\bm{}とかで囲むのが非常に面倒なので)。添え字の付いていない文字は、基本的にすべてベクトルを表していると思ってほしいです。ただし、$${\phi,\psi}$$は何らかのスカラ関数です。他にも、たまに太字になっていないかつ添字のついていない文字で、スカラを表している場合もあるかもしれないので、そのときは適宜補足します。

スカラ三重積

$$
\begin{align*}

a\cdot(b\times c)

=&a_{\lambda}(b\times c)_{\lambda}\\

=&a_{\lambda}\varepsilon_{\lambda\mu\nu}b_{\mu}c_\nu\\

=&b_\mu\varepsilon_{\mu\nu\lambda}c_\nu a_\lambda=b\cdot(c\times a)\\

=&c_\nu\varepsilon_{\nu\lambda\mu}a_\lambda b_\mu=c\cdot(a\times b)

\end{align*}
$$

$$
\therefore a\cdot(b\times c)=b\cdot(c\times a)=c\cdot(a\times b)
$$

ベクトル三重積

第$${\lambda}$$成分を変形していきます。

$$
\begin{align*}

[a\times(b\times c)]_\lambda=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_\mu(b\times c)_\nu\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_\mu\varepsilon_{\nu ij}b_ic_j\\

=&\varepsilon_{\nu\lambda\mu}\varepsilon_{\nu ij}a_\mu b_ic_j\\

=&(\delta_{\lambda i}\delta_{\mu j}-\delta_{\lambda j}\delta_{\mu i})a_\mu b_ic_j\\

=&\delta_{\lambda i}b_i\delta_{\mu j}a_\mu c_j-\delta_{\lambda j}c_j\delta_{\mu i}a_\mu b_i\\

=&b_\lambda (c\cdot a)-c_\lambda (a\cdot b)\\

=&[b(c\cdot a)-c(a\cdot b)]_\lambda

\end{align*}

$$

$$
\therefore

a\times(b\times c)=b(c\cdot a)-c(a\cdot b)
$$

今回はここまでです。
総じて言えることですが、内積や外積をクロネッカーのデルタやエディントンのイプシロンを用いて表した後に、うまく文字を並べ替えて、別の内積や外積の形を作り出すところがポイントです。
次回もお楽しみに。