階比型の漸化式

前回書いた微分方程式の級数解法の中で、階比型の漸化式が登場したので、それに関連する問題です。

問題

数列$${\{a_n\}}$$が、以下の漸化式をみたすとき、$${\{a_n\}}$$の一般項を求めよ。ただし、$${e}$$はネイピア数である。

$$
\frac{na_{n+1}}{(n+1)a_n}=e^n,\,\,\,a_1=e
$$

解答

$${b_n=\dfrac{a_n}{n}}$$とおくと、

$$
\frac{b_{n+1}}{b_n}=e^n
$$

となる。ここで、$${k=1,2,\cdots,n-1}$$まで、$${\dfrac{b_{k+1}}{b_k}=e^k}$$の両辺をそれぞれ掛けることにより

$$
\begin{align*}
\frac{b_n}{b_{n-1}}\cdot\frac{b_{n-1}}{b_{n-2}}\cdots\frac{b_2}{b_{1}}&=e^{n-1}e^{n-2}\cdots e^2e^1\\
b_n&=b_1e^{1+2+\cdots+(n-1)}\\
b_n&=\frac{e}{1}\cdot e^{\frac{n(n-1)}{2}}\\
\frac{a_n}{n}&=e^{1+\frac{n(n-1)}{2}}\\
a_n&=ne^{1+\frac{n(n-1)}{2}}
\end{align*}
$$

積、商、累乗のみ構成される漸化式は両辺の対数を取りたくなりますが、この問題では数列を置き換えることによって階比型$${\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)}$$の形に持ち込むことができます。