約分：最大公約数でわる・・・？　｜基礎計算研究所

　教科書には、約分するときには分子と分母の最大公約数を見つけて、それで割ると１回で約分ができる、ということが書いてあります。

（２０２１年度版５年生各社算数教科書より）

　しかし、最大公約数を見つけるのが一番いいわけではありません。

　ここでおすすめするのはできるだけ大きな１桁の公約数を見つける（ダメなときもあるけど）、ということです。（最大公約数、と書いていない教科書は、その当たりわきまえているからでしょうか？）

　同じわり算でも、÷１桁の計算と÷２桁の計算では，面倒さが相当ちがいます。できるだけ÷１桁の計算で済ますことができれば、それに越したことはありません。わり算のむずかしさとして、

÷１桁＝１桁（九九１回で済むわり算） << ÷１桁＝複数桁 << ÷複数桁

のようにわり算の面倒さがそれぞれに各段にちがうのです。÷１８をするときに、÷２をした後÷９をしたり、÷６をした後÷３をしたりした方が，÷１８を筆算でやろうとするよりも実は早いのです。

　教科書では、さも「１回で約分が済む」ということが最速最短の方法のように見えています。しかし、そこに至るまでの計算の負荷や総量については全く触れていません。そして、どの教科書も最大公約数が１桁の場合のみ例を取り上げています。例えば36/54の約分はどうでしょう。最大公約数は18です。計算の負荷や総量に注目して、都合の良い例だけではなく、いくつかの場合をみていくことにしましょう。その上で、なぜ「できるだけ大きな一桁の公約数で数回」が「最大公約数で１回」よりも良い戦略と言えるのか、検討していきます。

最大公約数を見つけるだけで大変では・・・？

　たとえば３６／５４を約分することを考えます。最大公約数は１８です。

　最大公約数を見つけるにはどうしましょう。いくつか方法がありますが、まずは教科書で約分の直前ぐらいに出てくる方法を確認しておきます。

（その１）２つの数の約数をそれぞれ書いて、その中から同じ数を見つける

（その２）小さい方の約数の中から、大きい方の約数を見つける

　このように、教科書の図だけ見ると、さらりと約数が並んで、さらりと比較ができて、やっているように感じるかも知れないけれども、実際どういう計算をしているか、ということを一つ一つ見てみると

★２つの数の約数をそれぞれ書いて、その中から同じ数を見つける　

　約数を見つけるときに、九九１回のわり算ではない３６÷２＝１８、３６÷３、５４÷２、５４÷３、５４÷４、５４÷５が必要です。

★小さい方の約数の中から、大きい方の約数を見つける

　５４÷２，５４÷３，５４÷４，５４÷６，５４÷１２，５４÷１８，５４÷３６と、実は面倒なわり算の計算が多く出てくるわけです。

　最大公約数だけ見つければいいので、３６の約数の大きい方から確かめてみるにしても、５４÷３６、５４÷１８という、÷２桁の計算をしなければならないのは変わりません。

÷２桁の計算は大変！

　さて、最大公約数が１８と出てきたので、今度は１８で分子と分母をわってみると、３６÷１８＝２，５４÷１８＝３で、２／３と約分が１回で済みます。しかし、２桁÷２桁の計算は筆算を持ち出さないといけないので、約分の回数を減らすメリット以上に計算が面倒になります。５４は９×６なので、３６が９や６でわれるかどうか、を考える方が計算が簡単です。

　２回約分が必要になりますが、九九の範囲であれば基本は筆算のいらないわり算だけで済みますし、九九の範囲を超えて筆算が必要になっても÷２桁よりも÷１桁は結局九九適用のわり算を繰り返すだけですので、÷２桁の筆算よりも格段に楽です。

　そして、ここで最大公約数は１８とさらっと言いましたが、最大公約数が１８である、ということを求めるためにも上のように計算が必要です。

　教科書には「最大公約数をまず見つけて、それでわる」ということが書いてありますが、それは約分を１回で済ますのがよい、という発想であり、そのための細かい計算の量は考慮をされていません。

　九九を利用することができれば、できるだけ大きな１桁の公約数を見つけることも可能なので、（何回かかかるかもしれないけど）わる、という方が、計算の素早さはちがいます。

「できるだけ大きな１桁の公約数」はどうやって見つける？

　しかしそうは言っても、約分回数を少なくすることは計算の総量を減らすためには外せないポイントです。そのために「できるだけ大きな１桁の公約数」としているのです。では、その「できるだけ大きな１桁の公約数」とやらは、どのように見つければよいのでしょう。

　約分の練習をするときに、あまりどこにもはっきりと書いていないけど、多くの人が利用しているルールがあります。それが「九九の活用」です。分子と分母が九九の同じ段にあるかどうかを考えてみることです。先ほどの３６／５４の例を考えてみましょう。まず同じ偶数どうしなので２でわって１８／２７、３でわって６／９、さらに３でわって２／３、これ以上公約数がないので既約、としてもいいのでが、５４は＝６×９で、３６も６の段や９の段にある数なので、６でも９でもわり切れます。「できるだけ大きな１桁の公約数」のルールで行くと、９で分子・分母をわると４／６。このわり算は「九九を利用するわり算」で簡単にできます。それで、さらに２で約分ができて、２／３で既約ですね。

　「九九を活用する」というやり方は、なかなか文字として示しているものが見当たりません。（得意な人がなんとなくやっている、という暗黙知の領域に入るものなのでしょうか）。

九九分解で見つけるコツ

　できれば、分子・分母のうち大きい方の数をまずは九九で分解できるかを考える、というのがいいかもしれません。小さい数だと、例えば３６は４＊９と６＊６の２通りに分解できて、幾つもの組合せの中から考える必要があります。数が大きくなればなるほど、九九で分解できても１通りしかない可能性が高くなります。

（ちなみに２通りに分解できる九九は１２＝２＊６＝３＊４、１６＝２＊８＝４＊４、１８＝２＊９＝３＊６、２４＝３＊８＝４＊６、３６＝４＊９＝６＊６）

　九九で分解できなければ、次の手、とすればよいのです。