福井県｜公立高校入試確率問題2022

（※選択問題Ａ・Ｂ共通）　

　右の図のように，箱には[２]，[４]，[６]，箱Ｂには[１]，[３]，[５]のカードが１枚ずつ入っている。（※波線開始）箱Ａ，Ｂからそれぞれ１枚ずつカードを取り出す。箱Ａから取り出したカードに書かれた数を $${a}$$，箱Ｂから取り出したカードに書かれた数を $${b}$$ とする。（※波線終了）
　このとき，次の問いに答えよ。ただし，箱Ａからのカードの取り出し方と箱Ｂからのカードの取り出し方は，それぞれ同様に確からしいとする。

(1)　ア　積 $${ab}$$ が６となる確率を求めよ。
　　イ　$${\dfrac{120}{ab}}$$が自然数となる確率を求めよ。

(2) 次の［　　］の文の(ア)，(イ)にあてはまる数を書け。ただし，(ア)には，１，３，５のいずれかを，(イ)にはあてはまる自然数のうち最大のものを書け。

箱Ｂに入っている３枚のカードのうち，(ア)と書かれたカードを，(イ)と書かれたカードと入れ換えて，波線の部分と同様のことを行うとき，$${\dfrac{120}{ab}}$$が自然数となる確率は１である。

分類：１７（お互いに影響しない２つの偶然）

表をかこう！

まずは（１）を考えるために、偶然が2回起こるわけですから、とにかく表で考えてみましょう。表をかきます。
表の書き方は、いくつか考えられます。アで$${ab}$$を求めたあと、下の図のようにイの表をもう一つ書いてしまってもいいですし、アのために書いた表をもとに考えてもよいです。

（１）答　　　ア　$${\bm{\dfrac{2}{9}}}$$　　イ　$${\bm{\dfrac{8}{9}}}$$

次に（２）ですが、ここで「カードを入れ替える」とあるので、AにあるものとBと取り替えるのか、と思った人もいるかもしれません。最初は私もそう読んでいました。しかし、問題をよく読むと「あてはまる自然数のうち最大のものを書け」とあります。自然数なら問題文にない数のカードを用意して入れ替えても良い、というのが題意です。

　文句を言うと、「入れ替える」と言う表現は受験者に間違いを起こさせやすいです。数学的な内容を問うのが主目的であるならば、題意をはっきりさせる補足はあった方がいいのではと思います。（ついうっかり、を超える言葉の問題と思います）

‥ということで、〔６－３〕の組み合わせを避ければよさそうなので、箱Ｂの３と何かを取り換えてみます。

$${\dfrac{120}{ab}}$$が自然数であるためには、$${ab}$$は120の約数でなければいけません。「最大の」と書いているので、６×（？）を最大になるように考えてみます。

　120の約数は、1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120で、まず６×（？）が最大の約数120になるように、20を入れてみると、4×20＝80で、120の約数にならず、条件を満たすことができません。
　次にその次に最大の約数60になるように6×（？）＝60つまり10を入れてみると、4×10＝40も、2×10＝20も120の約数となり、条件を満たすことができます。つまり$${\dfrac{120}{ab}}$$はすべて自然数になって、その確率は1になります。

　（２）は確率が１，すなわち必ず成り立つ条件を探すと言うことですから、確率の問題になりすました整数・分数の性質についての問題と言ってもいいでしょう。

（２）答　　　（ア）３　（イ）１０