交代群

群論において交代群とは何ですか

群論における交代群（こうたいぐん、alternating group）は、対称群の中で偶数の置換のみからなる正規部分群です。交代群は特に数学の分野で重要な役割を果たし、その性質と構造が様々な数学的問題に対する洞察を提供します。

交代群の定義と特性

1. 生成: 対称群 𝑆𝑛​ は 𝑛 個の要素の全ての置換から成り、その元の数は 𝑛! です。交代群 𝐴𝑛​ は 𝑆𝑛​ の中で偶置換のみを要素として持ちます。偶置換とは、置換を構成する転置（2要素の入れ替え）の数が偶数である置換を指します。

2. 性質:

   • 正規部分群: 𝐴𝑛は 𝑆𝑛​ の正規部分群です。つまり、𝑆𝑛​ の任意の元と 𝐴𝑛​ の元との共役（交換）が 𝐴𝑛​ の元を生成します。

   • 元の数: 𝐴𝑛​ の元の数は 𝑛!/2​ です。

   • 単純群: 𝑛≥5 の場合、交代群 𝐴𝑛 は単純群です。これは、非自明な正規部分群を持たないという意味です。

3. 重要性: 交代群は群論、特に有限群の理論における中心的な対象です。また、ガロア理論において方程式の解の対称性を調べる際にも重要な役割を果たします。

例

• 交代群 𝐴3​: この群は 3要素の偶置換から成ります。具体的には恒等置換と、3要素の巡回置換 (1 2 3) と (1 3 2)からなります。

• 交代群 𝐴4: 4要素の集合に対する偶置換からなり、例えば (1 2 3)、(1 3 2)、(1 2)(3 4)、(1 3)(2 4)、(1 4)(2 3) などが含まれます。

交代群の研究は、群の構造、対称性、そして数学的対象の分類において中心的な役割を果たしています。その理解は、群論だけでなく、代数全般、数理物理学、化学、そして情報科学においても応用されます。