書記が数学やるだけ#451 弧長パラメータの導出

曲率の性質を示すには，弧長パラメータが便利である。

問題

説明

以後，特に断りのない場合は正則曲線を前提とする。

弧長パラメータは，長さを1としたものである。

「任意の正則曲線は，パラメータの取り替えにより弧長パラメータをとることができる」ことから，曲率などの性質を考える際に弧長パラメータを用いればよいことが言える。

解答

パラメータの取りかえは合成関数の微分に対応する。

実際に弧長パラメータを求めてみる。まずは正則曲線であることの確認。

これはsinhθに変換する形である。

最後，逆関数t(s)の式を具体的に求めてないが，これはあまりに難しすぎるため。

弧長パラメータは，多くの場合元の式よりも複雑になるので，具体的な計算ではあまり用いられない。

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