書記が数学やるだけ#450 曲率に関する入試問題

今回から微分幾何学について扱うことにする，まずは関連する入試問題から。

問題

入試問題では，曲率を暗示した計算問題が少なくない。

説明

曲率において，円の半径によりその曲がり具合を測る。

解答

問題の大半は，基本的な図形の処理である。

これより，n=1の場合のみ収束し，それ以上では発散することがわかる。この結果は，y=x^2の原点での曲率半径が1/2であり，y=x^n(n2以上)については∞であることに対応している。

y=x^2は原点では半径1/2の円で近似できるともいえる。

②について，速度ベクトルvと加速度ベクトルaの関係のイメージ。ここで，vの長さが1になっていることに注意。

これらはパラメータ表示の微分を行うことで得られる。

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