書記が数学やるだけ#504 閉曲線の全曲率，回転数-1

閉曲線のパラメータについていくつかみていく。

問題

回転数について。

説明

今回から閉曲線について深掘りしていく。

基本事項：

回転数は見ればわかる数字であるが，厳密には曲率の積分で定義される。

問題に出てくるホモトピーについて簡単にまとめておく。これは位相幾何学で基本をなすものである。

解答

楕円の回転数が1であることは明らかなのだが，せっかくなので計算して確かめてみる。

閉曲線の回転数は整数になる。一見明らかな気もするが，回転数の定義から整数だけが出てくるのは意外性がある。

単純閉曲線の回転数は+1か-1である。これを示すには単位円への連続写像を考える。

あとは条件により値を絞っていく。

正則ホモトピーであることの証明。

これにより，単純閉曲線と円は同値であることが言える。

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